高中数学人教A版2019必修第二册6.2《平面向量的运算课时4 》教学设计

《平面向量的运算》教学设计
课时4向量的数量积
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.向量的加法运算 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模 【考查内容】 高考对于平面向量的运算的考查多以三个方向:(1)掌握向量加法、减法的计算,理解其几何意义;(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义;(3)理解平面向量数量积的含义和运算 【考查题型】 以选择题、填空题为主,解答题常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等内容相结合
2.向量的减法运算 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理
3.向量的数乘运算 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理
4.向量的数量积 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容包括向量线性运算的法则和运算律及应用、平面向量的数量积的运算和应用.
1.向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合成等两个物理模型为背
景引入的,使加法运算的学习建立在学生已有认知基础上.由于向量有方向,在进行运算时,不但要考虑大小,而且要考虑方向,应注意体会向量运算与数的运算的联系与区别,更好地把握向量加法的特点.
类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),向量减法的实质是减去一个向量等于加上这个向量的相反向量;向量数乘运算则是相同向量的连加.
2.平面向量的数量积运算是在研究完向量的线性运算之后的又一重要运算,它把向量的长度和三角函数联系起来,为解决有关的几何问题提供方便,特别是为解决线段垂直问题提供方便.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.向量的加法运算 2.向量的减法运算 3.向量的数乘运算 4.向量的数量积 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
学生在上节课中学习了向量的概念及表示、相等向量、平行向量等概念,知道向量可以平移,另外学生在物理中学习过力的合成、位移的合成等矢量的加法,并且学生对数的运算了如指掌,这些都是学习本节内容的基础.学生在物理的力学和位移学习中,已经初步了解矢量的合成,认识矢量与标量的区别,对位移和路程也有了一定的体验,这为学生学习向量的运算提供背景,并能够从物理中的力和位移的合成中去感受向量的运算法则,通过与数的运算法则类比,学生能够猜想出向量的运算法则.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.向量的加法运算
2.向量的减法运算
3.向量的数乘运算
4.向量的数量积
【教学目标设计】
1.理解向量加法的概念.
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.
3.理解向量的运算律.
4.理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想,增强学生的应用意识.
5.掌握向量数量积的定义和运算性质,运用数量积表示两个向量的夹角.
【教学策略设计】
一是创设问题情景,充分调动学生求知欲,并以此来激发学生的探究心理.
二是运用启发式教学方法.就是把教和学的各种方法综合起来统一组织运用于教学过程,以求获得最佳效果.并且在整个教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律,触发学生的思维,使教学过程真正成为学生的学习过程,以思维教学代替单纯的记忆教学.
三是注重渗透类比法、归纳法等一般的数学思想方法.让学生在探索学习知识的过程中,领会常见数学思想方法,培养学生的探索能力和创造性素质.
四是注意在探究问题时留给学生充分的时间,以利于开放学生的思维.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法、探究教学法,还有_______________________________________
【教学重点难点】
重点 1.向量加法、减法的运算法则及几何意义.
2.向量数乘运算的定义及其几何意义.
3.向量数量积的概念与运算律.
难点 1.理解向量加法的运算法则与向量减法的定义.
2.理解向量数量积的概念与运算律.
3.向量数量积的应用.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、____________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算 这些运算的结果是什么
生:向量的加法、减法、数乘运算,这些运算的结果仍是向量.
师:很好,既然两个向量可以进行加法、减法运算,那么两个向量能进行乘法运算吗 如果能,结果也是向量吗 这节课我们一起来探究.
教学精讲
探究1 向量夹角和数量积
师:首先,我们思考下面这样的问题.
【情景设置】
探究向量的数量积
一个物体在力的作用下产生了位移,那么力所做的功应当怎样计算
生:.
师:上述公式中的角为谁的夹角
生:力与位移的夹角.
师:夹角,物理上称为力和位移的夹角,在数学上我们称为向量的夹角,下面我们来阅读教材给出的向量夹角的概念.
【设情境 巧激趣】
让学生体会新旧知识的联系,明确研究数量积运算的途径,同时激发学生的学习兴趣
【情景学习】
通过物理中功的概念及求功公式中夹角的定义,得出向量夹角的定义,进而得出向量数量积的定义,提升学生的学习能力
【要点知识】
向量夹角的定义
已知两个非零向量和,是平面上的任意一点,作,
则叫做向量与的夹角.
显然,当时,与同向;当时,与反向.
如果与的夹角,我们就说与垂直,记作.
【概括理解能力】
通过对求功公式的提问,引导学生概括向量夹角的定义,提升了学生概括理解能力,体现了数学抽象的核心素养
【教师引导学生通过画图理解特殊情况下的夹角问题】
师:特殊情况1:当时,向量同向;
特殊情况2:当时,向量反向;
特殊情况3:当时,向量垂直,记作.
【深度学习】
根据夹角的概念进行特殊情况下的探究分析,使学生全面认知向量夹角概念,明确夹角的范围和特殊情况下的向量的位置关系
规定:零向量与任一向量垂直.
注意:在计算向量的夹角时,要将两个向量起点放在一起.
师:同学们,你们能用文字语言来表述功的计算公式吗 如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量,又该如何表述
【学生分组、讨论、交流尝试给出定义,最后教师给出向量数量积的定义】
生:功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积,数量积为两个向量的模的大小及其夹角余弦的乘积.
师:我们看一下向量的数量积定义的规范语言.
【情境学习】
通过物理中功的概念认识向量数量积的实际背景,进而在形式上认识向量数量积的定义.从数学和物理两个角度创设问题情境,使学生明白为什么要研究这种运算,从而产生学习兴趣
【要点知识】
向量的数量积
已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,即.
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
师:向量的数量积定义中和为何要是非零向量
生:零向量的模是0,并且零向量与其他向量的夹角没有定义.
师:两个向量的数量积与数乘向量有什么区别
生:两个向量的数量积是一个实数;而数乘向量是一个向量.
师:两个非零向量的数量积的计算结果符号由公式中哪个量决定
生:数量积符号由的符号所决定.
师:运用数量积公式时,一定注意两向量的夹角范围是.由向量数量积的正负能得到向量夹角的范围吗
生:当时,为正;当时,为负;当时,为零.
师:注意中间的“·”在向量运算中不能省略掉,也不能换成“×”.
师:下面我们来做求向量数量积的例题.
【深度学习】
让学生从“数”的角度认识向量数量积的概念,使学生不仅认识到向量的数量积与向量线性运算的结果有着本质的不同,而且认识到向量的夹角是决定数量积的重要因素,为后面更好地理解向量数量积的性质打下基础
【典型例题】
计算两个向量的数量积
例1 已知 和的夹角,求.
【两名学生在黑板板演, 其余学生独自完成, 教师给予评价】
生解:
师:下面我们求两个向量的夹角.
【典型例题】
求两个向量的夹角
例2 设,求和的夹角.
【学生积极思考、讨论,师生互动,教师进行板书】
师解:由,得
.
因为,所以.
【分析计算能力】
已知向量数量积,求两向量的夹角,要灵活应用向量数量积的公式,通过例2锻炼分析计算能力,提升数学运算核心素养
探究2 投影向量的概念
师:什么是向量、向量的投影 什么是向量在向量上的投影向量
【学生自主阅读教材,自行作图,得出结论,教师出示规范结论】
【要点知识】
投影向量
如图(1),设是两个非零向量,,我们考虑如下的变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.
如图(2),我们可以在平面内任取一点,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量.
【先学后教】
投影向量属于一个全新概念,宜采取学生自主阅读,自主画图感知概念,教师再进行讲解,加深学生对概念的理解与记忆
【自主学习】
学生通过自主阅读,利用数形结合,直观感知投影向量的概念,提升了学生的理解能力、自学能力
师:如图(2),设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,那么与之间有怎样的关系 之间有怎样的关系
【学生独立思考,教师适时点拨,师生共同总结结论】
师:我们分为锐角、直角、钝角以及等情况进行讨论.
(1)当为锐角时(图①),.
(2)当为直角时(图②),.
(3)当为钝角时(图③),.
(4)当时,.
(5)当时,.
综上所述,对于,都有.
【推测解释能力】
对的大小进行分类讨论,分情况讨论与之间的关系,体现了分类讨论的数学思想,提升了学生推测解释能力,渗透了数学证明的逻辑严谨性
探究3 向量数量积的性质
师:通过上面的探究我们可知,两个非零向量与相互平行或垂直时,向量在向上的投影向量具有特殊性,你能得出向量的数量积的特殊性质吗
师:设是非零向量,它们的夹角是是与方向相同的单位向量,我们从向量与的数量积可得到什么结果
生:
师:当向量垂直、同向、反向时,从向量和的数量积可得到什么结果
生:当向量垂直时,;当向量同向时,;当向量反向时,.
师:从向量与本身的数量积可得到什么结果
生:或.
师:我们知道,试比较与的大小关系.
生:.
师:下面我们一起总结数量积的性质.
【猜想探究能力】
学生通过特殊位置关系(平行、垂直)的向量数量积的特殊性的启发,探究向量数量积的性质,培养了猜想探究能力,提高了数学抽象能力和逻辑思维核心素养
【要点知识】
向量数量积的性质
设是非零向量,它们的夹角是是与方向相同的单位向量,则
(1).
(2).
(3)当向量同向时,;当向量反向时,.特别地,或.
(4).
【概括理解能力】
通过讨论,总结得出向量数量积的性质,提升学生的逻辑推理的核心素养,同时培养学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识
师:如果,是否有或
生:根据性质(2)中,可知两个非零向量垂直,则向量数量积为0,所以结论不成立.
探究4 向量数量积的运算律
师:数的乘法法则有哪些
生:数的乘法满足:
(1)交换律:
(2)结合律:
(3)分配律:
师:类比数的乘法运算律,再结合向量数量积的定义、向量线性运算的运算律,同学们来猜想向量数量积运算的运算律.
【意义学习】
以数的运算律类比,猜想数量积的运算律为情境,不仅能唤起学生的记忆,而且为学习新课做好了知识上的准备
【学生思考、讨论交流,师生共同猜想向量数量积的运算律】
师:下面老师把同学们的猜想写到黑板上:我们一起来验证其正确性！
(1)交换律:;
(2)结合律:
(3)分配律:
(4)数乘结合律:
师:同学们提出了四个关于向量数量积运算律的猜想,根据向量数量积的概论,(1)是显然成立的.对于猜想(2),请同学们先讨论,(2)的两边的结果各是什么 它们一定相等吗
生:左边是与向量共线的向量,而右边则是与向量共线的向量,显然当向量与向量不共线的时候,猜想(2)不正确.
师:说得很对,(实数),(实数),而与不一定相等,所以(2)不成立.既然三个向量相乘不满足结合律,那么两个向量和一个实数相乘满不满足结合律呢
【教师请学生先来判断猜想(4)是否成立,再独立思考、讨论、证明】
生证明:成立,设与的夹角为,当时,与的夹角等于与的夹角,等与与的夹角..所以.
师:说得不错,那么当时,与的夹角、与的夹角、与的夹角又是什么关系 此时猜想是否还成立
生证明:当时,与的夹角与的夹角为此时,
.
所以,
师:证明过程很正确,但是同学们想想,是不是已经考虑到了所有情况
生:还有的情况,此时.
师:这才是对的严谨证明,所以说,猜想(4)是正确的,现在我们只剩下猜想(3)还没有验证其正确性,下面同学们利用投影向量来一起验证其分配律的正确性.
【学生独立思考,阅读教材,尝试自己完成证明】
【说明论证能力】
利用向量数量积的定义与向量数乘的定义,对数量积的运算律的猜想进行验证说明,提升了说明论证能力
师:同学们请看下面的规范解答.
【归纳总结】
利用向量投影证明分配律
证明:如图,任取一点作.
设向量与的夹角分别为,它们在向量上的投影向量分别为,与方向相同的单位向量为,则
.
因为,所以.
于是.
即,
整理,得,
所以,
即.
所以.
因此.
【先学后教】
对于性质(3)的证明,先提示学生利用投影向量,引导学生利用数形结合思想来分析与解决问题,自行阅读教材与证明,最后由教师总结具体证明过程与方法,使学生对证明方法体会更深
师:我们根据上面的探究得出向量数量积的运算律如下.
【要点知识】
向量数量积的运算律
对于向量和实数,有
(1);(2);(3).
师:若为实数,则;但对于向量,就不正确,如下图就可看出,但.所以数量积的点乘不可以约分.
数量积运算只适合交换律、分配律及数乘结合律,并不适合乘法结合律,即不一定等于,这是由于表示一个与共线的向量,而表示一个与共线的向量,而与不一定共线.
师:同学们应用数量积的运算律,解决下面例题.
【概括理解能力】
通过猜想和证明得出向量数量积的运算律,提高学生的概括理解能力,提升学生逻辑推理和直观想象核心素养
【典型例题】
向量数量积的运算律的应用
例2 对任意,恒有,对任意向量,是否也有下面类似的结论
(1);
(2).
【学生自行验证,教师指定学生代表到黑板上进行演示问题(1)与(2),并进行点评与总结】
生解:
;
(2)
.
因此,上述结论是成立的
师:下面我们根据本节所学巩固练习
【分析计算能力】
通过分配律的应用问题,让学生体会解题中运算律的作用,比较向量运算与数量运算的异同,利用数量积公式、运算律进行运算,解决相应问题,提升数学运算的核心素养
【典型例题】
向量数量积的概念和性质的应用
例3 已知与的夹角为,求
【学生独立完成,教师指定学生代表到黑板上进行演示,并进行点评与总结】
生解:
师:我们继续练习一道综合题.
【综合问题解决能力】
通过例题,使学生深入学习和掌握向量的概念和性质,巩固相关运算律,强化实践应用,培养学生的数学应用能力和综合问题解题能力,提升数学运算核心素养
【典型例题】
向量数量积的性质和运算律的应用
例4 已知,且与不共线.当为何值时,向量与互相垂直
【教师进行思路引导,学生独立解答,教师巡视,进行个别指导】
师:两个向量互相垂直的充要条件是什么 这对解决本题有什么作用.
生:两个向量垂直的充要条件是向量的数量积为0,我们可以利用向量垂直的充要条件列方程,即求解.
生解:与互相垂直的充要条件是,
即
因为
所以
解得
也就是说,当时,与互相垂直.
师:回顾平面向量的运算相关知识,我们总结本节课所学.
【深度学习】
通过向量数量积的性质和运算律的应用,回顾了学生已有的相关知识和方法,链接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律.体会向量是沟通代数与几何的桥梁
【课堂小结】
向量的数量积
1.向量的夹角和数量积
零向量与任一向量的数量积为0.两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.
2.投影向量的概念
3.数量积的性质
4.数量积运算律
数量积运算只适合交换律、分配律及数乘结合律,并不适合乘法结合律.
【设计意图】
通过本节课的学习,加强学生对向量数量积的概念的理解和性质的掌握,体会整节内容的研究过程,感知特殊向量的研究过渡到一般向量的认识规律和数形结合的思想方法.对学生今后的学习平面向量的基本定理的探究有一定的指导意义
【课后作业】教材P22练习第1~3题
教学评价
学完本节课,学生应对向量的线性运算(包括向量的加法运算、减法运算及数乘运算)与向量的数量积深刻理解,并且能够熟练应用,包括运算律、几何意义.初步理解从问题中抽象出向量模型,再通过向量的代数运算获得问题的解决方案或结果,是利用向量解决问题的基本特征.向量的运算又是解决物理学、工程技术有关问题的重要方法之一,体现数学来源于实践,又应用于实践的思想.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、推测解释、分析计算、猜想探究)解决问题,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求
应用所学知识,完成下面各题:
1.下列命题不正确的是( )
A.单位向量不一定都相等
B.若与是共线向量,与是共线向量,则与是共线向量
C.,则
D.若与为单位向量,则
解析:根据单位向量的意义可以判定AD是正确的;零向量与任何向量都共线,取时可以判定B是错误的;根据向量加法和减法的几何意义和模的意义,可以判定C是正确的.
答案:B
2.如图所示,在中,分别是的中点,.
(1)用表示向量;
(2)求证:三点共线.
思路:本题运用向量的加法法则和减法法则解决向量的线性运算问题.
解析:(1)解:如图,延长到,使,
连接,得到平行四边形.
所以
(2)证明:由(1)可知又因为有公共点B,所以B,E,F三点共线.
【综合问题解决能力】
利用向量的加、减、数乘运算进行向量的线性表示,利用向量共线定理证明三点共线.提高了学生推测解释及综合问题解决的能力,达成了数学运算,逻辑推理的核心素养
3.已知与的夹角是.
(1)计算:①;②.
(2)当为何值时,
思路:本题考查向量的数量积的运算和性质.利用.数量积的模的运算方法.
解析:(1)由已知得,.
①∵.
②∵.
∴.
(2)∵,
∴,即,
即.
即时,与垂直.
【分析计算能力】
利用向量的数量积,求向量的模,利用向量垂直的充要条件求参数,提高学生分析计算、推测解释的能力,达成了数学运算、逻辑推理的核心素养
4.已知.
(1)求;
(2)求向量与向量的夹角的余弦值.
思路:本题考查向量的数量积的运算和性质,利用.注意数量积的夹角的运算方法.
解析:(1)∵
.
(2)∵,
∴向量与向量的夹角的余弦值为.
【分析计算能力】
利用向量的数量积和夹角公式,求向量的模和夹角的余弦值.提高学生分析计算、推测解释及综合问题解决的能力,达成了数学运算,逻辑推理的核心素养
【以学定教】
本节课是对向量的线性运算的学习,类比讲解法有利于学生从物理背景和数的运算中接受新知识,对于平面向量的运算,探索其运算性质,体会向量运算的作用.教学中保持知识的科学性和系统性,有助于学生认同新概念的合理性,便于加深学生对向量运算内涵的理解,提高学生的应用意识
教学反思
整个教学设计是将教师定位于学生学习的引导者、组织者和合作者,以教材为依据,挖掘教材所蕴含的思想方法和数学逻辑,创设教学情境,激发学生学习兴趣.在讲解向量的运算法则时,教师的一种处理方法是适当结合物理知识进行力的分解,启发学生联想到用平行四边形的加法法则进行向量分解,会有更大的收获.在进行向量数量积问题的教学时,涉及平行投影等知识与方法,可根据不同的学生对象进行取舍.教学中根据班级的实际情况,在教学中积极践行新课程理念,倡导合作学习;注重学生动手操作能力与自主探究能力的培养.
【以学论教】
本节有许多内容可以类比学习,应大胆地让学生进行类比推理,让学生成为课堂的主体.
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