《向量的加法运算》教学设计一
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1.什么叫向量 如何表示向量 既有大小又有方向的量叫做向量.向量可用有向线段来表示. 2.什么叫相等向量 长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量.3.什么叫平行向量 方向相同或相反的两个非零向量叫做平行向量,平行向量也叫做共线向量. 4.数的加法运算(例如:1十2=3)能否类比迁移到向量中 5.如果可以,该如何定义向量的加法呢 模为1的向量与模为2的向量相加是否一定是模为3的向量呢 首先,教师连续提出前三个问题,帮助学生复习旧知识. 其次,教师依次抛出后两个问题,引导学生通过类比数可以进行运算,引出新课题——向量的加法. 学生回答教师所提的问题,在教师的引导下重温旧知识,然后带着“向量是否有加法”这个问题进入本节课的学习. 温故而知新﹐且带着问题学习,目标明确,同时有助于学生更牢固地掌握知识.
形成概念 情境一:唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发,先绕到新疆,再往天竺,若悟空单独前往,可以直接飞往西天,两种走法的路程相同吗 位移呢 向量加法的三角形法则. 如图所示,已知非零向量在平面内任取一点A,作,则向量叫做的和,记作,即 求两个向量和的运算,叫做向量的加法.上面这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. 小结:向量加法的三角形法则的特征为首尾相接,首尾连. 练习1:如图所示. 情境二:图(1)表示橡皮条在两个力的作用下,沿MC方向伸长了EO;图(2)表示橡皮条在一个力的作用下,沿相同方向伸长了相同长度EO.从力学的观点分析,之间的关系如何 向量加法的平行四边形法则. 如图所示,以同一点О为起点的两个已知向量,以 OA,OB为邻边作口OACB,则以O为起点的向量 (OC是口OACB的对角线)就是的和.这种作两个向量的和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 小结:向量加法的平行四边形法则的特征为起点相同,邻边作形,对角为和. 对于零向量与任意向量a,我们规定 练习2:试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 已知四边形ABCD,对角线AC与BD交于点O,AO=OC , DO=OB.求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:如图,由向量加法的三角形法则,得 即AB 与 DC平行且相等, :四边形ABCD为平行四边形. 教师根据引入的故事,帮助学生回顾物理中位移的定义和合成,说明物理中的矢量求和和向量加法有何异同,将物理中的矢量求和迁移到向量的加法上来,让学生自己探究向量加法的三角形法则,进而定义向量加法的三角形法则,最后总结三角形法则特征. 教师给出练习题,学生独立解答.集体订正. 教师提问求作向量的加法还有没有其他方法,再次创设情境,让学生用物理学知识,根据定义向量加法的三角形法则的过程,自己定义向量加法的平行四边形法则.教师适当进行补充. 在学习向量加法的三角形法则之后,向量加法的平行四边形法则就比较容易理解.学生自己根据物理学知识解决问题,再尝试自己定义向量加法的平行四边形法则. 教师提出教材第8页上的第2个思考题,学生讨论,集体评议. 教师出示练习题,学生独立解答.集体订正. 通过合作交流,探究问题共性,形成充分条件与必要条件的概念,提升学生数学抽象核心素养. 让学生自主探究新知,突出学生的主体地位.
深化探究 探究一:对平面内的任意两个非零向量作加法,和向量的模与向量的模的和有怎样的大小关系 1.共线向量的加法. (1)方向相同:意义类似于有理数加法中的“同号两数相加”,即和向量的长度等于两个向量的长度之和,和向量的方向与两个向量的方向相同(如图). (2)方向相反:意义类似于有理数加法中的“异号两数相加”,即和向量的长度等于较大的向量的长度减去较小的向量的长度,方向取长度较大的向量的方向(如图). 2.不共线向量的加法. 结合向量加法的三角形法则及三角形中的三边关系进行探究. 结论:一般地,我们有 当且仅当方向相同时等号成立. 探究二:数的加法满足加法的交换律和结合律,那向量的加法是否同样满足加法的交换律和结合律呢 1.交换律:,如图,由向量加法的三角形法则可知向量的加法满足交换律. ⒉结合律:如图, 由上图还可知 ,,可见将三个向量依次首尾相加,和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点. 多个向量相加,同理可得结果:可见,三角形法则不仅适用于两个向量相加,同样可用于多个向量相加,同时也说明三角形法则的实质是首尾相接,而不是表示向量的有向线段一定要构成三角形. 在掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则的基础上,学生思考教师所提的问题。 固化概念,提升学生的逻辑推理核心素养.
应用举例 例1如图,已知向量求作向量. 作法一:在平面内取一点O(如图所示),作 作法二:在平面内任取一点O(如图所示),作.以OA,OB为邻边作口OACB,连接OC,则 例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图,一艘船从长江南岸A点出发,垂直于对岸航行,航行速度的大小为15 km/h,同时江水的速度为向东6 km/h. (1)用向量表示江水速度﹑船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到1°). 解:(1)如图,表示船速,表示江水速度,以AD,AB为邻边作口ABCD,则表示船实际航行的速度. (2)在Rt△ABC中,,于是 ,所以利用计算工具 因此,船实际航行速度的大小约为16.2 km/h,方向与江水速度间的夹角约为68°. 教师出示例题,要求学生用两种方法完成,并总结两种方法的共性. 学生解题,讨论三角形法则和平行四边形法则的共性,并得出结论. 教师出示例题,让学生先小组讨论,再尝试写出解答过程. 集体订正,教师给出详细的解题步骤. 通过例题及时进行反馈,有助于学生掌握知识.同时可根据学生的掌握情况做好补教.
课堂小结 学生自己归纳这节课所学的内容. 归纳小结,帮助学生形成系统的知识结构.
课后作业 教材第10页练习第1,3,5题. 教师布置作业,学生按时完成练习. 作业题兼顾了理论与应用,既巩固了本课所学,又让学生体会到数学的应用价值.
板书设计
6.2.1向量的加法运算 一,复习引入 向量及其有关概念的复习 二,形成概念 向量加法的三角形法则 向量加法的平行四边形法则 三,深化概念 1.一般地,我们有 当且仅当方向相同时等号成立. 2.交换律: 3.结合律: 四、应用举例 例1 例2 五、课堂小结 六、课后作业
教学研讨
本节在导入环节设置了两个情境,第一个是学生非常熟悉的唐僧取经的路线问题,第二个是物理学中的受力分析,这两个导入学生都比较感兴趣,有助于新课的进行;在向量加法的三角形法则和平行四边形法则学完之后,各紧跟一个练习,有助于学生对法则的把握.本节内客有许多地方需要类比学习,应大胆地让学生进行类比推理,让学生成为课堂的主体.
2 / 7