高中数学人教A版2019必修第二册 6.2.2《向量的数量积》教学设计二

《向量的数量积》教学设计二
创设问题情境，引出新课
提出问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
生：向量的加法、减法及数乘运算这些运算的结果是向量
师：很好，那既然两个向量可以进行加法、减法运算我们自然就想：两个向量能进行乘法运算吗？如果能，结果也是向量吗？
设计意图：1.让学生体会新旧知识的联系性.2.明确研究向量的数量积这种运算的途径
探究向量数量积的概念
1.给出有关材料并提出问题
（1）如图所示，一物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功：
（2）这个公式有什么特点？请完成下列填空：
①W（功）是量；②F（力）是量
③s（位移）是
量；④a是
（3）你能用文字语言表述功的计算公式吗？答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积这就给我们一种启示：能否把功W看成两个向量F和s的一种运算结果呢？为此我们引入向量数量积，今天，我们就来学习向量的数量积.
2.向量数量积的定义.
（1）已知两个非零向量a，b（如图），O是平面上的任意一点,作
显然，
如果垂直，记作a⊥b.
（2）向量数量积的定义
已知两个非零向量它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作，即.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
（3）定义说明：记法“”中间的“·”不可以省略，也不可以用“×”代替
设计意图：1.认识向量的数量积的实际背景2.使学生在形式上认识向量数量积的定义.3.从数学和物理两个角度创设问题情境，使学生明白为什么要研究这种运算，从而产生强烈的求知欲望.
3.提出问题：向量的数量积运算与向量的线性运算的结果有什么不同？影响向量数量积大小的因素有哪些？
答：向量线性运算的结果是向量，而向量数量积的结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量的模有关，还和它们的夹角有关
4.学生讨论并完成下表
设计意图：引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义
5.投影向量
如图（1），设是两个非零向量，，我们考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为我们称上述变换为叫做向量在向量上的投影向量
如图（2），我们可以在平面内任取一点O，作过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量上的投影向量
6.研究数量积的物理意义
（1）请同学们用一句话来概括功的数学本质.
功是力与位移的数量积
（2）尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：①竖直下降10米；②竖直向上提升10米；③在水平面上位移为10米；④沿倾角为30°的斜面向上运动10米分别求重力做功的大小.
设计意图：通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，巩固对定义的理解；另一方面使学生理解向量数量积的物理意义，体会学科间的联系，同时也为学习向量数量积的性质埋下伏笔.
三、探究向量数量积的性质
1.提出问题
（1）将尝试练习中的①②③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？
（2）比较的大小，你有什么结论？
2.请证明上述结论
教师让学生阅读教材第18~19页的相关内容，以帮助证明结论
3向量数量积的性质
设是非零向量，它们的夹角是方向相同的单位向量，则
设计意图：培养学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识.
四、应用与提高
1.学生独立完成：已知的夹角为
设计意图：通过计算巩固对向量数量积定义的理解，同时让学生学会运用性质解决问题.
2.师生共同完成：已知
3.反馈练习
已知△ABC中，时，试判断△ABC的形状.
设计意图：通过练习，对学生的掌握情况有了进一步的了解和把握.
五、小结
1.本节课我们学习的主要内容是什么？
2.向量的数量积有哪些应用？
3.我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究的？在探究过程中，渗透了哪些数学思想？
4.类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究向量的数量积？
设计意图：通过学生讨论总结，加强学生对概念的理解和掌握，使其体会整节内容的研究过程，明白为什么要学这些内容，学了这些内容可以做什么，这对以后的学习有什么指导意义.
六、布置作业
教材第20页练习第1，3题.
板书设计
第1课时 向量的数量积 1.向量数量积的定义 已知两个非零向量我们把数量的数量积（或内积），记作. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.投影向量 3.向量数量积的重要性质 设a与b是非零向量，它们的夹角是0，e是与b方向相同的单位向量，则 当；当反向时，.特别地，