高中数学人教A版2019必修第二册 6.2.2《向量的数量积》教学设计一

《向量的数量积》教学设计一
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？ 问题2：向量与向量能否“相乘”？ 教师提问，学生回顾所学的向量的加减运算、数乘运算教师提出关于向量之间能否相乘的问题. 让学生复习已学过的知识，同时提出相关的新问题，在巩固旧知识的同时激发学生学习的兴趣.
形成概念1 思考1：在物理学中，我们学过功的概念，如果给出力的大小和位移的大小，能否求出功的大小？ 思考2：上述公式中的角是谁与谁的夹角？两个向量的夹角是如何定义的？ 向量夹角的定义：已知两个非零向量O是平面上的任意一点，作,则 叫做向量的夹角. 思考3：你能用文字语言来表述功的计算公式吗？如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？ 向量数量积的定义：已知两个非零向量 叫做向量的数量积（或内积）， 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 教师提出学生已学过的关于功的问题，让学生思考. 学生作答：. 教师提问，从而引出两向量夹角的定义学生指出：上述公式中的角是力与所发生的位移的夹角 学生认识向量夹角的定义，教师指出：显然，当 ，a与b反向.如果a与b的夹角我们说a与b垂直，记作 教师提问，学生思考讨论. 教师给出向量数量积的定义，要求学生识记. 能够通过物理学中功的概念及求功公式中夹角的定义，得出向量夹角的定义，进而得出向量数量积的定义，提升学生的学习能力.
深化 概念1 思考4：向量的数量积运算与向量的线性运算的结果有什么不同？（两个向量的内积是数量还是向量？） 思考5：两个非零向量数量积的计算结果的符号由公式中的哪个量决定？ 思考6：反过来，由向量数量积的正负能得到向量夹角的范围吗？ 教师提问，学生进行讨论，教师总结 向量的数量积是一个实数，而向量线性运算的结果还是一个向量这是二者的显著区别 教师让学生分小组讨论完成思考5和思考6，得出结论： 1.表示的是数量而不是向量，符号由决定. 2.记法“”中间的 “·”不可以省略，也不可以用“×”代替 3.向量夹角的范围是 让学生从“数” 的角度认识向量数量积的概念，使学生不仅认识到向量的数量积与向量线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定向量数量积的重要因素，为后面更好地理解向量量积的性质打下 基础.
形成 概念2 思考7：如图，设a，b是两个非零向量，,的夹角为的几何图形吗？ ON的垂线，垂足为在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为之间有怎样的关系？ 提示：分θ为锐角、直角、钝角以及， 学生作图思考，集体核对.教师给出投影向量的概念： 如图，设是两个非零向量， 我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足 我们称上述变换为向量向向量b投影，叫做向量在向量b上的投影向量. 学生分组进行讨论、思考，学生代表进行总结教师给予指导、总结. 教师提示学生要把角分为各种情况进行讨论，不能一概而论. 通过作图增强学生的数形结合意识，提升其直观想象核心素养.
深化 概念2 当θ为钝角时（如图（3）），与e方向相反，所以 即 从上面的讨论可知，对于任意的都有 思考9：当两个非零向量相互平行或垂直时，它们的数量积有怎样的特殊性？ 设是非零向量，它们的夹角是方向相同的单位向量，则 （3）当同向时， 反向时，或 学生讨论、总结. 教师根据学生总结的向量数量积的性质进行点拨、指导，最后将学生没有提到的性质进行补充. 通过学生的讨论、总结，提升学生的逻辑推理核心素养.
应用举例 已知 教师引导学生分析：例1是已知模与夹角求向量的数量积，例2是已知向量的数量积和模求向量的夹角在求解时要注意的取值范围是. 这两个例题是利用向量数量积的公式，求相应的问题，主要提升学生的数学运算核心素养.
归纳总结 1向量夹角的定义 2向量数量积的定义 3投影向量的概念 4向量数量积的性质 先让学生独自回忆，然后师生共同总结. 通过小结使学生加强对知识的记忆，加深对数学思想方法的理解，养成总结的好习惯.
课后作业 教材第20页练习第1~3题. 学生独立完成. 巩固新知，提升能力.
板书设计
第1课时 向量的数量积 一、复习引入 问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？ 问题2：向量与向量能否“相乘”？ 二、形成概念 1.向量夹角的定义 2向量数量积的定义 已知两个非零向量它们的夹角为0我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作，即规定：零向量与任一向量的数量积为0 3.投影向量的概念 4向量数量积的性质 三、应用举例 例1 例2 四、归纳总结 五、课后作业
教学研讨
本节内容围绕着几个思考展开，每一个思考下面都有相应的知识点，对于每一个思考，教师应该给予学生充分的讨论探究时间，这样设计有助于培养学生自主学习的能力.例题的设置是采用了教材上的例题，例题所对应的知识点很单一，如果时间允许，可以在教材例题的基础上再加一些经典题目，这样效果会更好.