高中数学人教A版2019必修第二册 6.2.3《向量数量积的拓展应用》教学设计

《向量数量积的拓展应用》教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 问题1：我们学过了实数乘法的哪些运算律？ 问题2：向量的数乘满足哪些运算律呢？请根据实数乘法的运算律，猜想向量数量积运算的运算律，并给出证明. 师生共同回顾学过的内容，并进行总结： 交换律： ②结合律：； ③分配律： 学生思考讨论，给出猜想： 学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备.
形成概念 1.证明猜想 猜想①的正确性是显而易见的. 问题3：关于猜想②的正确性，请同学们先讨论，猜想②的左右两边的结果各是什么？它们定相等吗？ 答：左边是与向量c共线的向量，而右边则是与向量a共线的向量，显然在向量c与向量a不共线的情况下，猜想②是不正确的. 证明. 证明：设的夹角是. 综上，原式成立猜想③的证明. 证明：如图，任取一点O， 它们在向量c上的投影向量分别为,方向相同的单位向量为 . 2.总结向量数量积运算的运算律 对于向量和实数 有 学生进行讨论，思考，并给予回答，教师进行点拨总结. 对于猜想②，证明不成立后，教师接着提问：三个向量相乘不满足结合律，那么两个向量和一个实数相乘满不满足结合律呢？ 给出猜想④：. 在证明时，学生可能只考虑到λ>0的情况，为了帮助学生完善证明，提出以下问题：当λ<0时，向量与，b与λb的关系如何？此时，向量与λb的夹角及b与a的夹角与向量与b的夹角相等吗？教师组织学生完成猜想③的证明过程，让学生体会数形结合的思想方法. 教师对由上述证明得到的结论进行总结，学生识记. 这四个猜想有对有错，在证明时需要较强的推理、分析和作图能力，对提高学生的合作交流能力、提升学生的逻辑推理和直观想象核心素养都起到了很好的锻炼作用.
深化 概念 问题4：我们知道，对任意实数恒有那么，对任意向量是否也有以下类似的结论 因此，上述结论是成立的. 将学生分成两组，第一组证明第一个问题，第二组证明第二个问题，每小组派一个代表到黑板上进行演示，教师给予点评. 让学生体会解题中运算律的作用，比较向量运算与数的运算的异同.
应用举例 例2 已知,线.当k为何值时，向量a+kb与a一kb互相垂直？ 互相垂直的充要条件是 也就是说，当 互相垂直. 教师引导学生分析. 学生练习巩固. 例1属于纯粹的基础计算题，要做到人人都掌握.例2是计算与位置关系相结合的题目，教师要指导学生先根据位置关系，列出正确的式子，然后进行计算. 通过例题讲解使学生掌握基础知识，巩固相关运算律，强化实践，培养学生的数学应用能力，提升其数学运算核心素养.
归纳总结 向量数量积运算的运算律: 对于向量和实数，有 先让学生独自回忆，然后师生共同总结. 通过小结使学生加强对知识的记忆，养成总结的好习惯.
课后作业 教材第22页练习第1～3题. 学生独立完成. 巩固新知，提升能力.
板书设计
第2课时 向量数量积的拓展应用 一、复习引入 二、形成概念 证明猜想①~④ 向量数量积运算的运算律：对于向量，有 三、深化概念 对任意向量，有 四、应用举例 例1 例2 五、归纳总结 六、课后作业
教学研讨
本节内容是向量数量积运算的运算律，比较简单.在设计上，运算律公式是通过类比实数运算律，进行猜想，进而证明猜想得到的这样不仅让单一的内容丰满了许多，还可以加深学生对运算律公式的理解和记忆.此外，教师还应告诉学生：教材例11中的重要结论在以后的计算中，可直接使用.