高中数学人教A版2019必修第二册 6.2.1 向量的加法运算 导学案（含答案）

6.2.1 向量的加法运算
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法.
1.数学抽象：向量加法概念；
2.逻辑推理：利用向量加法证明几何问题；
3.直观想象：向量加法运算；
4.数学建模：从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.
重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；
难点：理解向量加法的定义.
预习导入
阅读课本7-10页，填写。
１、向量的加法：_______________________________________.
２、三角形法则和平行四边形法则
(1)三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ， 规定： a + 0= 0 + a
(2)平行四边形法则
如图所示：＝＋(三角形法则) ，又因为＝，
所以＝＋(平行四边形法则)，
注意：在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
3.向量a+b与非零向量a，b的模及方向的关系
(1)当a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|____|a|＋|b|.
(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝____________.
(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝__________.
若|a|＜|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝__________.
4．向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b=___________；
(2)结合律：a＋b＋c＝_____________＝_____________．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量相加结果可能是一个数量．(　　)
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．(　　)
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．(　　)
2．对任意四边形ABCD，下列式子中不等于的是(　　)
A．＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
3如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于(　　)
A．1 B．2
C． D．
4．已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则a＋b＋c＋d＝________.
题型一 向量的三角形法则和平行四边形法则
例1 　如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a与b的和．
跟踪训练一
1、如图，已知a，b，求作a＋b；
题型二 向量的加法运算
例2　如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：
跟踪训练二
1、化简或计算：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋＋.
题型三 利用向量加法证明几何问题
例3已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，＝.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
跟踪训练三
1．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E，F，使BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．
题型四 向量加法的实际应用
例4　在水流速度为向东10 km/h的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10 km/h，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．
跟踪训练四
1、在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东35°的方向行驶800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向行驶800 km送往C地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．
1．在平行四边形ABCD中，下列式子：
①＝＋；②＝＋；③＋＝；④＋＝；⑤＝＋＋；⑥＝＋.
其中不正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．4 D．6
2．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是(　　)
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|；
⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
A．①② B．①③
C．①③⑤ D．②④⑤
3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是(　　)
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
4．根据图示填空．
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋2＝________.
5．若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝________.
6．已知矩形ABCD中，宽为2，长为2，＝a，＝b，＝c，试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小．
答案
小试牛刀
1. (1)×(2) ×(3)×
2．C.
3．B.
4. e
自主探究
例1 【答案】见解析
【解析】如下图中(1)、(2)所示，
首先作＝a，然后作＝b，则＝a＋b．
跟踪训练一
1、【答案】见解析．
【解析】如图所示．
．
例2　【答案】　(1) . (2) . (3) ..
【解析】　(1)＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＋＝＋＝.
跟踪训练二
1、【答案】(1). (2) 0.
【解析】(1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(2)＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝0.
例3【答案】见解析.
【解析】证明　＝＋，＝＋，
又∵＝，＝，∴＝，
∴AB＝DC且AB∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
跟踪训练三
1．【答案】见解析．
【解析】证明　∵＝＋，＝＋，
又＝，＝，
∴＝，即AE与FC平行且相等．
∴四边形AECF是平行四边形．
例4　【答案】　船行驶速度为20 km/h，方向与水流方向的夹角为120°.
【解析】　如图所示，表示水速，表示船实际航行的速度，表示船速，
由＝＋易知||＝||＝10，又∠OBC＝90°，所以||＝20，
所以∠BOC＝30°，所以∠AOC＝120°，即船行驶速度为20 km/h，
方向与水流方向的夹角为120°.
跟踪训练四
1、【答案】救护车行驶的路程是1600 km，两次行驶的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
【解析】如图所示，设，分别表示救护车从A地按北偏东35°方向行驶800 km，从B地按南偏东55°的方向行驶800 km.
则救护车行驶的路程指的是||＋||；
两次行驶的位移的和指的是＋＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1600(km)．
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以||＝＝＝800(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而救护车行驶的路程是1600 km，两次行驶的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
当堂检测
1-3.ACD4. (1)　(2)　(3)＋5. 120°
6. 【答案】8．
【解析】作＝，如图，则a＋b＋c＝，
a＋b＋c＝＋＋＝2＝2c，∴|a＋b＋c|＝|2|＝2＝8.
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