高中数学人教A版2019必修第二册 6.2.3_向量的数乘运算_导学案（含答案）

6.2.3 向量的数乘运算
1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；
2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；
3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.
1.数学抽象：向量数乘概念；
2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；
3.数学运算：向量的线性运算；
4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.
重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；
难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件.
预习导入
阅读课本13-16页，填写。
1、定义
　　实数与向量的积是一个_________，记作_________. 它的长度和方向规定如下：
　　（1）.
（2）时，的方向与的方向_________；当时，的方向与的方向_________；
特别地，当或时，.
2、实数与向量的积的运算律
设、为任意向量，、为任意实数，则有：
（1）；　
（2）；　
（3）.
3、向量平行的充要条件：
向量与非零向量平行的充要条件是___________________________.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)的方向与a的方向一致． (　　)
(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉． (　　)
(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝，则a＝b. (　　)
2．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是(　　)
A．b＝2a　　　　　　　　　 B．b＝－2a
C．a＝2b D．a＝－2b
3．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是(　　)
A．平行四边形 B．菱形
C．梯形 D．矩形
4．化简：2(3a＋4b)－7a＝______.
题型一 向量的线性运算
例1 化简下列各式：
(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．
跟踪训练一
1、设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)．
2、已知a与b，且5x＋2y＝a,3x－y＝b，求x，y.
题型二 向量线性运算的应用
例2 如图所示，四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，.
跟踪训练二
1、如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.
题型三 共线定理的应用
例3　已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
跟踪训练三
1、已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；
2、已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．
1.等于(　　)
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
2．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　)
①m(a－b)＝ma－；②(m－n)a＝ma－；③若ma＝，则a＝b；④若ma＝，则m＝n.
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
3.如图，△ABC中，＝a，＝b，＝3，＝2，则＝(　　)
A．－a＋b　　　B.a－b
C.a＋b D．－a＋b
4．对于向量a，b有下列表示：
①a＝2e，b＝－2e；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
其中，向量a，b一定共线的有(　　)
A．①②③　　　　　　　　B．②③④
C．①③④ D．①②③④
5．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝________．
6．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，＝a，＝b.
(1)用a，b分别表示向量
(2)求证：B，E，F三点共线．
答案
小试牛刀
1. (1)×(2) ×(3)×
2．A.
3．C.
4. －a＋8b.
自主探究
例1 【答案】(1) 14a－9b. (2)－2a＋4b.
【解析】(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.
(2)原式＝(4a＋16b－16a＋8b)
＝(－12a＋24b)
＝－2a＋4b.
跟踪训练一【答案】1、－i－5j. 2、．
【解析】1、原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝a＋b
＝－a＋b
＝－(3i＋2j)＋(2i－j)
＝－i－5j.
2、联立方程组解得
例2 【答案】　　－a＋b＋c. ＝a－b－c.
【解析】　＝＋＋＝－a＋b＋c.
∵＝＋＋，
又＝－，＝－，＝，
∴＝a－b－c.
跟踪训练二
1、【答案】＝a. ＝－a＋b. ＝a－b.
【解析】由三角形中位线定理，知DE平行且等于BC，故＝，
即＝a.
＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.
＝＋＋＝＋＋
＝－a－b＋a＝a－b.
例3　【答案】（1）见解析，（2）k＝±1.
【解析】　(1)证明：∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.
∴，共线，且有公共点B．∴A，B，D三点共线．
(2)∵ke1＋e2和e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(－1)e2.
∵e1与e2不共线，∴解得k＝±1.
跟踪训练三
【答案】1、见解析.2、x＋y＝1.
【解析】1、证明：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，∴＝－＝e1－4e2.
又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴＝2，∴∥.
∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．
2、解 由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使＝λ，即－＝λ(－)，所以＝(1－λ)＋λ，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
当堂检测
1-4.BBDA 5. －2或
6．【答案】见解析.
【解析】
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