《平面向量的运算》学考通关练
一、选择题
1.（考点1）府等于（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（考点2）平面上有三点，设，若m，n的长度恰好相等，则有（ ）
A.三点必在同一条直线上
B.必为等腰三角形且为顶角
C.必为直角三角形且
D.必为等腰直角三角形
3.（考法8）在所在平面内，，且，且，则点依次是的（ ）
A.重心、外心、垂心
B.重心、外心、内心
C.外心、重心、内心
D.外心、重心、垂心
4.（考点4）若a，b是非零向量，且，，则函数是（ ）
A.一次函数且是奇函数
B.一次函数但不是奇函数
C.二次函数且是偶函数
D.二次函数但不是偶函数
二、填空题
5.（考法9）已知向量a，b的夹角为45°，且，则________。
6.（考点2·考法1）在中，，M为BC的中点，则________。（用a，b表示）
三、解答题
7.（考点3）判断向量a与b是否共线：
（1）（e为非零向量）；
（2）（为非零且不共线向量）；
（3）（为非零且不共线向量）。
参考答案
1.
答案：C
解析：。
2.
答案：C
解析：如图所示，作平行四边形ABCD，其中。因为，所以，所以平行四边形ABCD为矩形，所以为直角三角形， 且。
3.
答案：D
解析：表示O到三角形三个顶点的距离相等，即O是三角形的外心；由得，表示N在BC边的中线上，类似地,N在AC边的中线上，所以N是三角形的重心；由可得P是三角形的垂心。
4.
答案：A
解析：因为，所以。因为，故选A。
5.
答案：
解析：依题意，可知，即，所以（负值舍去）。
6.
答案：
解析：由得，所以，所以，所以。
7.
答案：见解析
解析：（1）因为，又因为，所以，所以a与b共线。
（2）因为，又因为为非零且不共线向量，所以，所以a与b共线。
（3）因为为非零且不共线向量，所以不存在实数，使，所以a与b不共线。
1 / 4《平面向量的运算》高考达标练
一、选择题
1.（2019·昆明模块调考）已知向量，，其中不共线，则与的关系为（ ）
A.不共线
B.共线
C.相等
D.无法确定
2.（2019·大连高一调研）下列命题中是真命题的是（ ）
①对任意两向量a，b，均有；
②对任意两向量a，b，与是相反向量；
③在中，
④在四边形ABCD中，。
A.①②③
B.②④
C.②③④
D.②③
3.（2019·厦门调考）若两个非零向量a，b满足，则向量与的夹角是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2019·宁波模拟）已知，且关于x的方程有实根，则a与b的夹角的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2019·西宁三模）如图所示，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
6.（2019·广东蕉岭中学高三月考）等边三角形ABC的边长为1，记，，则___________。
7.（2019·冀州中学高三月考）设向量a，b，c满足，，则___________。
8.（2019·武汉武昌元月调考）已知，a在b方向上的投影为，b在a方向上的投影为，则a与b的夹角为___________。
9.（2019·襄阳调考）已知a，b是不共线的向量，且。若三点共线，则___________。
三、解答题
10.（2019·武汉外校单元检测）已知两个非零向量a，b不共线，，。
（1）证明：三点共线；
（2）试确定实数k，使共线。
11.（2019·宜昌模块调考）如图，在中，点P为线段AB上的一个动点（不包含端点），且满足。
（1）若，用向量表示；
（2）若，，且，求的取值范围。
参考答案
1.
答案：B
解析：与c共线。
2.
答案：D
解析：①是假命题，当时，，该命题不成立。②是真命题，与是相反向量。③是真命题，，该命题成立。④是假命题，，，，该命题不成立。
3.
答案：D
解析：，。又。
设的夹角为θ，则。又。
4.
答案：B
解析：，且关于x的方程有实根，则。设向量a，b的夹角为，所以，所以。故选B。
5.
答案：A
解析：设正六边形的边长是1，则；；；。
6.
答案：
解析：由题意可得。
7.
答案：5
解析：由，
得。
8.
答案：
解析：即
。。
9.
答案：1
解析：若三点共线，则共线，所以存在实数使得，则。因为a，b不共线，所以，且，消去，得。
10.
答案：见解析
解析：（1）证明：因为，
所以，
，
所以，即与共线。
又因为与有公共点A，所以三点共线。
（2）解：因为a，b为非零向量且不共线，所以。
若共线，则必存在唯一实数，
使，整理得。
因出解得或
即存在实数，使共线，此时；或存在实数，使与共线，此时，因此都满足题意。
11.
答案：见解析
解析：（1）。
。
（2），
，
。
。
的取值范围是。
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