4.2.1等差数列的性质（第二课时） 课件（共23张PPT）
文档属性
| 名称 | 4.2.1等差数列的性质（第二课时） 课件（共23张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 32.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-23 05:59:17 | ||
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文档简介
(共23张PPT)
第四章数列
4.2.1等差数列的性质（第二课时）
李思
2022
目录
CONTENTS
知识回顾
课堂总结
典型例题
等差数列的性质
01
02
03
04
RART 01
知识回顾
知识回顾
1.等差数列的概念是什么？
2.等差中项是什么？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
如果a，A，b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项．满足的关系式是a+b=2A．
等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则通项公式为an＝a1+(n-1)d,n∈N*
3.等差数列的通项公式是什么？
RART 02
等差数列的性质
等差数列的性质
性质1：通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)
性质2：若{an}为等差数列，k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an
性质3：若{an}是等差数列，公差为d，
则偶数列{a2n}也是等差数列，公差为2d，
奇数列{a2n-1}也是等差数列，公差为2d，
性质4：若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m ，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列
等差数列的性质
性质7：当d>0时，数列{an}为单调递增数列；
当d<0时，数列{an}为单调递减数列；
当d＝0时，数列{an}为常数列．
性质5：若ap＝q，aq＝p，则ap＋q＝0
性质6：在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两 项之和：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝…
等差数列的性质
若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有：
（1）新数列{c＋an}是公差为d的等差数列(c为任一常数)
（2）新数列{c·an}是公差为cd的等差数列(c为任一常数)
（3）新数列{an＋an＋k}是公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
（4）新数列{pan＋qbn}是公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
变形：新数列{c·an+m}是公差为cd的等差数列(c为任一常数)
RART 03
典型例题
等差数列的性质
例1：判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．( )(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．( )(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an－1＝an＋an＋2.( )(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．( )
×
×
√
√
等差数列的性质
例2：(1)在等差数列{an}中，a5＝6，a8＝15，则a14＝( )A．21 B．32 C．33 D．42(2)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )A．5 B．6 C．8 D．10(3)在等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝( )A．15 B．30 C．5 D．10(4)等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a3＋a6＋a10＋a13＝32，am＝8，m的值为( )A．12 B．8 C．6 D．4(5)数列{an}，{bn}均为等差数列，a1＋b1＝1，a2＋b2＝3，则a2 022＋b2 022＝( )A．4 039 B．4 041 C．4 043 D．4 045
A
C
A
B
C
等差数列的性质
例3：在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求an.
解：∵a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，a2＋a5＋a8＝9，∴a5＝3，∴a3＋a7＝6①又a3a5a7＝－21，∴a3·a7＝－7②由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1∴当a3＝－1时，d＝2；当a3＝7时，d＝－2.∴an＝－1＋(n－3)×2或an＝7＋(n－3)×(－2)
即an＝2n－7或an＝－2n＋13.
等差数列的性质
例4：(1)在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为________.(2)已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________.
解：(1)∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，
∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20,
∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.
18
等差数列的公共项问题
例5：两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？
解：设已知两个数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn}，c1＝11,又等差数列5,8,11，…的通项公式为an＝3n＋2，
等差数列3,7,11，…的通项公式为bn＝4n－1.∴数列{cn}为等差数列，且公差d＝12.∴cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.又∵a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302,
故两数列共有25个相同的项．
等差数列的公共项问题
例6：在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们的公共项从小到大依次排列构成的数列的通项公式及公共项的个数．
解：设两数列的公共项从小到大依次排列构成的数列为{cn}，则c1＝2.因为两数列为等差数列，且易知它们的公差分别为3，5，所以数列{cn}仍为等差数列，且公差d＝15.所以cn＝c1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×15＝15n－13.令2≤15n－13≤197，知1≤n≤14，
故两数列共有14个公共项．
等差数列的综合应用
例7：已知数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)从数列{an}中，依次取出偶数项，组成一个新数列{bn}，求数列{bn}的通项公式．
解：(1)设等差数列的公差为d.因为a1＋a2＋a3＝12，所以a2＝4，因为a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d，所以d＝2，所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n，故an＝2n.(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.所以数列{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.故bn＝4n.
等差数列的综合应用
例8：等差数列2，5，8，…，每相邻两项间插入3个数，构成一个新的等差数列．(1)求原数列的通项公式；(2)原数列的第10项是新数列的第几项？(3)新数列的第2 021项是原数列的第几项？求新数列的通项公式．
解：(1)等差数列2，5，8，…，a1＝2，公差d＝3，则an＝a1＋(n－1)d＝3n－1.(2)原数列的第1项是新数列的第1项，
原数列的第2项是新数列的第2＋3＝5项，
原数列的第3项是新数列的第3＋2×3＝9项，…，
原数列的第n项是新数列的第n＋(n－1)×3＝(4n－3)项．
当n＝10时，4n－3＝4×10－3＝37. 所以原数列的第10项是新数列的第37项．
等差数列的综合应用
(3)令4n－3＝2 021，得n＝506，新数列的第2 021项是原数列的第506项．
等差数列的综合应用
例9：已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号被4除余3的项组成数列{bn}．(1)求b1和b2；
(2)求数列{bn}的通项公式；(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？
解：(1)由题意，等差数列{an}的通项公式为an＝3－5(n－1)＝8－5n，设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则需满足m＝4n－1，n∈N*.所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，b2＝a7＝8－5×7＝－27.
被4除余3的数可以表示为4n－1
等差数列的综合应用
(2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，
所以数列{bn}也为等差数列，
且首项为b1＝－7，公差为d′＝－20，
所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.(3)因为m＝4n－1，n∈N*，
所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439，所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项．
RART 04
课堂总结
课堂总结
1.等差数列的性质；
2.等差数列的性质的应用；
3.等差数列的公共项问题；
4.等差数列的综合应用。
感谢您的观看
2022
我们必须知道，我们必将知道 --希尔伯特
第四章数列
4.2.1等差数列的性质（第二课时）
李思
2022
目录
CONTENTS
知识回顾
课堂总结
典型例题
等差数列的性质
01
02
03
04
RART 01
知识回顾
知识回顾
1.等差数列的概念是什么？
2.等差中项是什么？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
如果a，A，b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项．满足的关系式是a+b=2A．
等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则通项公式为an＝a1+(n-1)d,n∈N*
3.等差数列的通项公式是什么？
RART 02
等差数列的性质
等差数列的性质
性质1：通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)
性质2：若{an}为等差数列，k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an
性质3：若{an}是等差数列，公差为d，
则偶数列{a2n}也是等差数列，公差为2d，
奇数列{a2n-1}也是等差数列，公差为2d，
性质4：若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m ，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列
等差数列的性质
性质7：当d>0时，数列{an}为单调递增数列；
当d<0时，数列{an}为单调递减数列；
当d＝0时，数列{an}为常数列．
性质5：若ap＝q，aq＝p，则ap＋q＝0
性质6：在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两 项之和：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝…
等差数列的性质
若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有：
（1）新数列{c＋an}是公差为d的等差数列(c为任一常数)
（2）新数列{c·an}是公差为cd的等差数列(c为任一常数)
（3）新数列{an＋an＋k}是公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
（4）新数列{pan＋qbn}是公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
变形：新数列{c·an+m}是公差为cd的等差数列(c为任一常数)
RART 03
典型例题
等差数列的性质
例1：判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．( )(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．( )(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an－1＝an＋an＋2.( )(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．( )
×
×
√
√
等差数列的性质
例2：(1)在等差数列{an}中，a5＝6，a8＝15，则a14＝( )A．21 B．32 C．33 D．42(2)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )A．5 B．6 C．8 D．10(3)在等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝( )A．15 B．30 C．5 D．10(4)等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a3＋a6＋a10＋a13＝32，am＝8，m的值为( )A．12 B．8 C．6 D．4(5)数列{an}，{bn}均为等差数列，a1＋b1＝1，a2＋b2＝3，则a2 022＋b2 022＝( )A．4 039 B．4 041 C．4 043 D．4 045
A
C
A
B
C
等差数列的性质
例3：在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求an.
解：∵a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，a2＋a5＋a8＝9，∴a5＝3，∴a3＋a7＝6①又a3a5a7＝－21，∴a3·a7＝－7②由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1∴当a3＝－1时，d＝2；当a3＝7时，d＝－2.∴an＝－1＋(n－3)×2或an＝7＋(n－3)×(－2)
即an＝2n－7或an＝－2n＋13.
等差数列的性质
例4：(1)在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为________.(2)已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________.
解：(1)∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，
∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20,
∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.
18
等差数列的公共项问题
例5：两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？
解：设已知两个数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn}，c1＝11,又等差数列5,8,11，…的通项公式为an＝3n＋2，
等差数列3,7,11，…的通项公式为bn＝4n－1.∴数列{cn}为等差数列，且公差d＝12.∴cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.又∵a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302,
故两数列共有25个相同的项．
等差数列的公共项问题
例6：在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们的公共项从小到大依次排列构成的数列的通项公式及公共项的个数．
解：设两数列的公共项从小到大依次排列构成的数列为{cn}，则c1＝2.因为两数列为等差数列，且易知它们的公差分别为3，5，所以数列{cn}仍为等差数列，且公差d＝15.所以cn＝c1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×15＝15n－13.令2≤15n－13≤197，知1≤n≤14，
故两数列共有14个公共项．
等差数列的综合应用
例7：已知数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)从数列{an}中，依次取出偶数项，组成一个新数列{bn}，求数列{bn}的通项公式．
解：(1)设等差数列的公差为d.因为a1＋a2＋a3＝12，所以a2＝4，因为a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d，所以d＝2，所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n，故an＝2n.(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.所以数列{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.故bn＝4n.
等差数列的综合应用
例8：等差数列2，5，8，…，每相邻两项间插入3个数，构成一个新的等差数列．(1)求原数列的通项公式；(2)原数列的第10项是新数列的第几项？(3)新数列的第2 021项是原数列的第几项？求新数列的通项公式．
解：(1)等差数列2，5，8，…，a1＝2，公差d＝3，则an＝a1＋(n－1)d＝3n－1.(2)原数列的第1项是新数列的第1项，
原数列的第2项是新数列的第2＋3＝5项，
原数列的第3项是新数列的第3＋2×3＝9项，…，
原数列的第n项是新数列的第n＋(n－1)×3＝(4n－3)项．
当n＝10时，4n－3＝4×10－3＝37. 所以原数列的第10项是新数列的第37项．
等差数列的综合应用
(3)令4n－3＝2 021，得n＝506，新数列的第2 021项是原数列的第506项．
等差数列的综合应用
例9：已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号被4除余3的项组成数列{bn}．(1)求b1和b2；
(2)求数列{bn}的通项公式；(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？
解：(1)由题意，等差数列{an}的通项公式为an＝3－5(n－1)＝8－5n，设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则需满足m＝4n－1，n∈N*.所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，b2＝a7＝8－5×7＝－27.
被4除余3的数可以表示为4n－1
等差数列的综合应用
(2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，
所以数列{bn}也为等差数列，
且首项为b1＝－7，公差为d′＝－20，
所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.(3)因为m＝4n－1，n∈N*，
所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439，所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项．
RART 04
课堂总结
课堂总结
1.等差数列的性质；
2.等差数列的性质的应用；
3.等差数列的公共项问题；
4.等差数列的综合应用。
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