2.2 二次函数的图象与性质（第3课时） 课件 (共30张PPT)

(共30张PPT)
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
北师大版九年级下册
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课堂小结
学习目标
1、熟练掌握二次函数y=a(x-h)2的图象与性质，学会画该二次函数的抛物线；
2、掌握二次函数y=a(x-h)2的对称轴、顶点坐标，并熟练掌握该函数的单调性；
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观察与思考
a,c的符号 a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0 a<0,c<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0,c）
（0,c）
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
x=0时，y最小值=c
x=0时，y最大值=c
问题1 说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.
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知识点一 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
例1 画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
－2
－2
0
0
－2
－2
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
0
x
y
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下
直线x=-1
( -1 , 0 )
直线x=0
直线x=1
向下
向下
( 0 , 0 )
( 1, 0)
类似地，可以证明二次函数 y=a(x-h)2的下列性质
y=a(x-h)2 a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
要点归纳
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,0）
（h,0）
当x=h时，y最小值=0
当x=h时，y最大值=0
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
例1 若抛物线y＝3(x＋ )2的图象上有三个点，A(－3 ，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为________________．
解析：∵抛物线y＝3(x＋ )2的对称轴为x＝－ ，a＝3＞0，∴x＜－ 时，y随x的增大而减小；x＞－ 时，y随x的增大而增大．∵点A的坐标为(－3 ，y1)，∴点A在抛物线上的对称点A′的坐标为( ，y1)．∵－ ＜ 1＜0＜ ，∴y2＜y3＜y1.故答案为y2＜y3＜y1.
典例精析
y2＜y3＜y1
知识点二 二次函数y=ax2的图象与y=a(x-h)2的图象的关系
向右平移
1个单位
想一想
抛物线 ， 的图象与抛物线
的图象有什么关系？
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
向左平移
1个单位
知识要点
二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
可以看作互相平移得到(h>0).
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
y=a(x-h)2
当向左平移 ︱h︱ 时
y=a(x+h)2
当向右平移 ︱h︱ 时
y=ax2
例2 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，
∴平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2.
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
当堂练习
1．对于二次函数y=-2(x+3)2的图象，下列说法不正确的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是直线x=-3
C．顶点坐标为(-3,0)
D．当x＜-3时，y随x的增大而减小
【答案】D
【详解】解：A、∵a=-2＜0，
∴函数图象开口向下，故A正确，不符合题意；
B、对称轴是直线x=-3，故B正确，不符合题意；
C、顶点坐标为(-3,0)，故C正确，不符合题意；
D、∵函数图象开口向下，对称轴是直线x=-3，
∴当x＜-3时，y随x的增大而增大，故D不正确，符合题意；
故选：D．
2．对于二次函数y=-(x+2)2，下列结论中，错误的是（ ）
A．对称轴是直线x=-2
B．当x＞-2时，y随x的增大而增大
C．当x=-2时，函数的最大值为0
D．开口向下
【答案】B
【分析】二次函数y=-(x+2)2是顶点式，结合它的图象顶点，开口方向，图象位置等，逐一判断．
【详解】解：根据二次函数的性质，可得：二次函数y=-(x+2)2的图象顶点为（-2，0），对称轴为x=-2，开口向下，
故当x=-2时，函数的最大值为0，当x＞-2时，y随x的增大而减小；
故选：B．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x-1)2与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于点A、B，若AB=4，则点M到直线l的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】设函数顶点坐标M为(h，0)，点M到直线l的距离为a，则y=(x-h)2，再求出A、B坐标即可求解．
【详解】解：函数顶点坐标M为(h，0)，点M到直线l的距离为a，
则：y=(x-h)2=a，解得：x＝h±，
即：A(h﹣，0)，B(h+，0)，
∵AB＝4，
∴h+﹣(h﹣)＝4，解得：a＝4．
故选：C．
4．已知二次函数y=-2（x+b）2，当x＜-3时，y随x的增大而增大，当x＞-3时，y随x的增大而减小，则当x=1时，y的值为（ ）
A．-12 B．12 C．32 D．-32
【答案】D
【分析】根据当x＜-3时，y随x的增大而增大，当x＞-3时，y随x的增大而减小，即可得到抛物线的对称轴为直线x=-3，由此求解即可．
【详解】解：∵当x＜-3时，y随x的增大而增大，当x＞-3时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为直线下，
∴b=3，
∴当x=1时，y=-32，
故选D．
5．抛物线y=-3(x+8)2的顶点坐标是 _____．
【答案】(-8,0)
【分析】由二次函数解析式的顶点式，可得抛物线顶点坐标．
【详解】解：∵y=-2(x+8)2，
∴抛物线顶点坐标为(-8,0)，
故答案为：(-8,0)．
6．若点A(-2,y1)，B(2,y2)在抛物线y=(x+1)2上，则y1与y2的大小关系为：y1_________y2（填“＞”，“=”或“＜”）．
【答案】＜
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出y1，y2的值，比较后即可得出结论．
【详解】解：∵若点A(-2,y1)，B(2,y2)在抛物线y=(x+1)2上，
∴y1=1，y2=9
∵1＜9，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
7．在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若抛物线y=(x-a)2与线段PQ有交点，则a 的取值范围是______．
【答案】2≤a≤10
【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，掌握抛物线随值的变化左右移动是解题的关键．
8．已知抛物线y=a(x-2)2+1与x轴有两个交点，把该抛物线向下平移m个单位长度得到新抛物线与x轴没有交点，则m的值可以是___________．（只填一个符合题意的值即可）
【答案】2（答案不唯一）
【分析】先根据抛物线y=a(x-2)2+1与x轴有两个交点，得出a＜0，然后写出平移后的抛物线解析式为y=a(x-2)2+1-m，根据新抛物线与x轴没有交点，得出1-m＜0，再求解即可．
【详解】∵抛物线y=a(x-2)2+1与x轴有两个交点，
∴抛物线开口向下，即a＜0，
∴抛物线向下平移m个单位长度后，新抛物线解析式为y=a(x-2)2+1-m，
∵新抛物线与x轴没有交点，
∴1-m＜0，
∴m＞1，
取符合题意的m的值为2（答案不唯一）．
故答案为：2（答案不唯一）
9．已知抛物线y=(x-2）2经过点A(-2,b)．
(1)求b的值；
(2)判断点B(10,8)是否在此抛物线上？
【答案】(1)16
(2)不在
【详解】（1）解：抛物线y=(x-2)2经过点A(-2,b)，
∴b=(-2-2)2=16；
（2）解：∵当x=10时，y=64≠8，
∴B(10,8)不在此抛物线上．
10．已知二次函数y=x2-6x+8．
（1）将解析式化成顶点式；
（2）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．
【答案】（1）y=(x-3)2-1；（2）x≥3，x≤3．
【分析】（1）对解析式进行配方即可得顶点式；
（2）根据顶点式可以确定对称轴，进而可确定函数的增减性．
【详解】（1）y=x2-6x+8=x2-6x+9-1=(x-3)2-1；
（2）由（1）可知二次函数开口向上，对称轴为x=3，
∴当x≥3时，y随x的增大而增大；x≤3时，y随x增大而减小．
课堂小结
平移规律：
括号内：左加右减；括号外不变.
复习y=ax2+k
探索y=a(x-h)2的图象及性质
图象的画法
图象的特征
描点法
平移法
开口方向及增减性
顶点坐标
对称轴
平移关系
直线x=h
（h,0）
a>0,开口向上
a<0,开口向下
a的符号决定
增减性
y=ax2