第28章 锐角三角函数 小结与复习 课件 (共39张PPT)

(共39张PPT)
小结与复习
第二十八章小结与复习
(2)∠A的余弦：cosA＝　　　　　　＝　　　；
(3)∠A的正切：tanA＝　　　　　　＝　　　.
要点梳理
1. 锐角三角函数
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(1) ∠A的正弦：
∠A的对边
斜边
sin A =
∠A的邻边
斜边
∠A的邻边
∠A的对边
第二十八章小结与复习
sin30°＝　　，sin45°＝　　，sin60°＝　　；
cos30°＝　　，cos45°＝　　，cos60°＝　　；
tan30°＝　　，tan45°＝　　，tan60°＝　　.
2. 特殊角的三角函数
1
第二十八章小结与复习
合作探究
(1) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，
∠B，∠C的对边．
三边关系：_______________；
三角关系：_________________ ；
边角关系：sinA＝cosB＝_____ ，cosA＝sinB
＝____，
tanA＝_________，tanB＝_______.
a2＋b2＝c2
∠A＝90°－∠B　
3. 解直角三角形
第二十八章小结与复习
(2) 直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少
有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．
解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出
另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；
知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股
定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边，
再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添
加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．
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(3) 互余两角的三角函数间的关系
sinα = ，
cosα = _____________，
sin2α + cos2α = .
tanα · tan(90°－α) =___.
cos(90°－α)
sin(90°－α)
1
1
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(1) 利用计算器求三角函数值
第二步：输入角度值，
屏幕显示结果.
(不同计算器操作可能不同)
第一步：按计算器 键，
sin
tan
cos
4. 借助计算器求锐角三角函数值及锐角
第二十八章小结与复习
(2) 利用计算器求锐角的度数
还可以利用 键，进一步得到角的度数.
第二步：输入函数值
屏幕显示答案 (按实际需要进行精确)
方法①：
°＇″
2nd F
第一步：按计算器 键，
2nd F
sin
cos
tan
第二十八章小结与复习
方法②：
第二步：输入锐角函数值
屏幕显示答案 (按实际需要选取精确值).
第一步：按计算器 键，
°＇″
2nd F
第二十八章小结与复习
(1) 仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
5. 三角函数的应用
第二十八章小结与复习
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角. 如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
(2) 方位角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
第二十八章小结与复习
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有
i = tan α.
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
显然，坡度越大，坡角α就越大，
坡面就越陡.
如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面坡度.记作i，即i = .
(3) 坡度，坡角
第二十八章小结与复习
(4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过
程是：
① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，
转化为解直角三角形的问题）；
② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等
去解直角三角形；
③ 得到数学问题的答案；
④ 得到实际问题的答案．
第二十八章小结与复习
A
C
M
N
①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
E
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
③量出测倾器的高度AC=a，可求出
MN=ME+EN=l · tanα+a.
α
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
6. 利用三角函数测高
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(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
A
C
B
D
M
N
E
α
②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角
∠MDE=β；
β
③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离
AB=b.根据测量数据，可求出物体MN的高度.
第二十八章小结与复习
考点一 求三角函数的值
考点精讲
例1 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanB的
值为 ( )
A.　　 B.　 　 C.　 　D.
解析：根据sinA＝ ，可设三角形的两边长分别为4k，5k，则第三边长为3k，所以tanB＝
B
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例2 矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．
分析：根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得 tan∠BCF
的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值．
10
8
第二十八章小结与复习
解：由折叠的性质可得，CF=CD，
∠EFC=∠EDC=90°.
∵∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，
∴∠AFE+∠BFC=90°.
∵∠BCF+∠BFC=90°，∴∠AFE=∠BCF.
在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10，
由勾股定理易得BF=6.
∴tan∠BCF = .
∴tan∠AFE=tan∠BCF= .
10
8
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考点二 特殊角的三角函数值
例3 计算：
解：原式＝
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考点三 解直角三角形
例4 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC = ，
求：(1) DC的长；
分析：题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在Rt△ACD和Rt△ABC中求得，由AD＝BC，图中CD＝BC－BD，由此可列方程求出CD．
A
B
C
D
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又 BC－CD＝BD，
解得x =6，∴CD=6.
A
B
C
D
解：设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC = ，
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(2) sinB的值．
A
B
C
D
解：BC=BD+CD=4+6=10=AD，
在Rt△ACD中，
在Rt△ABC中，
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考点四 三角函数的应用
例5 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号)
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解：过点A作AF⊥BC于点F，
在Rt△ABF中，
∠ABF =∠α=60°，
则AF=AB·sin60°= (m)，
在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，
则 (m).
故改造后的坡长 AE 为
m.
F
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例6 如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，
求大树的高度（结果保留整数，参考据:sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11， ≈1.73）.
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解：如图，作DG⊥BC于点G，DH⊥CE于点H，
则四边形DHCG为矩形．
故DG=CH，CG=DH，DG∥HC，
∴∠DAH=∠FAE=30°.
在Rt△AHD中，∵∠DAH=30°，AD=6，
∴DH=3，AH= ，
∴CG=3，
设BC为x，
在Rt△ABC中，
G
H
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在Rt△BDG中，∵ BG=DG · tan30°，
解得 x ≈13，
∴大树的高度为 13 米.
∴
∴
G
H
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例7 如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
第二十八章小结与复习
解：设B处距离码头O x km，
在Rt△CAO中，∠CAO=45°，
∴CO=AO · tan∠CAO=（45×0.1+x）· tan45°=4.5+x.
在Rt△DBO中，∠DBO=58°，
∴DO=BO · tan∠DBO=x · tan58°.
∵DC=DO－CO，
∴36×0.1=x · tan58°－（4.5+x），
因此，B处距离码头O大约13.5km.
∴
∵tan∠CAO= ,
∵tan∠DBO= ,
第二十八章小结与复习
90°
2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，
C都在格点上，则∠ABC的正切值是____.
1. 在△ABC中， 且sinA= ，cosB= ，则∠C=____．
巩固训练
第二十八章小结与复习
解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD =
∴BD = AD·tan∠BAD=12× =9，
∴CD=BC－BD=14－9=5，
∴
∴sinC =
3 如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，
AD＝12，tan∠BAD＝ ，求sinC的值．
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(1) tan30°＋cos45°＋tan60°；
(2) tan30°· tan60°＋ cos230°.
4 计算：
解：原式
解：原式
第二十八章小结与复习
5 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ .
点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°.
求△ABC的周长 (结果保留根号).
第二十八章小结与复习
解：在Rt△ADC中，
∴BD＝2AD＝4.
∴BC＝BD＋DC＝5.
在Rt△ABC中，
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC
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6 如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横断面为梯形ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为45°，高10米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2米，加固后背水坡EF的坡比i=1:　 ．求加固后坝底增加的宽度AF. (结果保留根号)
A
B
C
D
E
F
45°
i=1:
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A
B
C
D
E
F
45°
i=1:
G
H
解：作DG⊥AB于点G，EH⊥AB于点H，
则GH=DE=2米，EH=DG=10米.
(米)，
(米).
又∵AG=DG=10米，
∴ (米).
故加固后坝底增加的宽度AF为 米.
第二十八章小结与复习
7. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l (如图). 救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海
岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝
40米，B在C的北偏东35°方向，甲、乙
的游泳速度都是 2 米/秒，则谁先到达 B
处？请说明理由 (参考数据：sin55°≈0.82，
cos55°≈0.57，tan55°≈1.43).
第二十八章小结与复习
分析： 在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可．
解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°.
∴BD＝CD · tan∠BCD＝40×tan55°≈57.2(米)．
BC＝ ＝ ≈70.2(米)．
∴t甲≈57.2÷2＋10＝38.6(秒)，
t乙≈70.2÷2＝35.1(秒)．
∴t甲>t乙．
答：乙先到达B处．
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锐角三角函数
特殊角的三角函数
解直角三角形
简单实际问题
课堂小结
正弦
锐
角
三
角
函
数
余弦
正切
三边关系
三角关系
边角关系
仰俯角问题
方位角问题
坡度问题
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