28.2.3 利用仰俯角解直角三角形 课件 (共21张PPT)

(共21张PPT)
利用仰俯角解直角三角形
28.2.3 利用仰俯角解直角三角形
学习目标
1. 巩固解直角三角形有关知识. (重点)
2. 能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实
际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、
方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基
本模型及解题思路. (重点、难点)
28.2.3 利用仰俯角解直角三角形
讲授新课
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.
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例1 如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8 m的E处，测得树顶的仰角∠ACD=52°，已知测角器的架高CE=1.6 m，问树高AB为多少米？（精确到0.1 m）
解：在Rt△ACD中，∠ACD=52°，CD=EB=8 m.
由tan∠ACD= ，得
AD=CD·tan∠ACD =8×tan52°
=8×1.279 9≈10.2（m）.
由DB=CE=1.6 m，得
AB=AD+DB=10.2+1.6=11.8（m）.
答：树高AB为11.8 m.
典例精析
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例2 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
A
B
C
D
40m
54°
45°
A
B
C
D
40m
54°
45°
解：在等腰Rt△BCD中，∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中 ，
∴AB=AC－BC=55.1－40=15.1 (m).
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例3 如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高 (结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗
D′
A
B′
B
D
C′
C
分析：由图可知，塔高AB可以分为两部分，上部分AB′可以在Rt△AD′B′和Rt△AC′B′中利用仰角的正切值求出，B′B与D′D相等.
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解：如图，由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°， D′C′=50m.
∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m ，
设AB′=x m.
D′
A
B′
B
D
C′
C
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例4 如图所示．某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端点D与点C，B在同一条直线上，已知AC＝32 m， CD＝16 m， 求荷塘宽BD为多少米？(取 ≈1.73，结果保留整数)
导引：将相关量转化为直角三角形ABC 中的有关元素，然后选择合适的 边角关系求得BD的长即可.
解：由题意可得∠ABC＝30°.
在Rt△ABC中，∵tan ∠ABC＝ .
∴BC＝
∴BD＝BC－CD＝32 －16≈32×1.73－16≈39(m)．
答：荷塘宽BD约为39 m.
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例5 如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin37°≈0.8，
cos37 °≈0.6，tan 37°≈0.75）
A
B
37°
45°
400米
P
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A
B
O
37°
45°
400米
P
设PO=x米，
在Rt△POB中∠PBO=45°，
在Rt△POA中，∠PAB=37°，
OB=PO= x米.
解得x=1200.
解：作PO⊥AB交AB的延长线于点O.
即
故飞机的高度为1200米.
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例6 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
Rt△ABD中，a =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度；类似地可以求出CD的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度.
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解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m.
A
B
C
D
α
β
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当堂练习
1. 如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平
面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观
测者之间的水平距离BC=_________米.
2. 如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点
测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则
建筑物CD的高为_____米.
100
图①
B
C
A
图②
B
C
A
D
30°
60°
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3. 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E
处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，
则树高 (精确到0.1米）.
A
D
B
E
C
20.9 米
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4. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉
线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一
根拉线BC和地面成45°角．则两根拉线的总长度为
m(结果用带根号的数的形式表示).
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5. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81）
(1) 求大楼与电视塔之间的距离AC；
解：由题意，AC＝AB＝610（米）.
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(2) 求大楼的高度CD（精确到1米）.
故BE＝DEtan39°．
∵CD＝AE，
∴CD＝AB－BE=AB-DE·tan39°
＝610－610×tan39°≈116（米）.
解：DE＝AC＝610（米），
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝ .
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45°
30°
O
B
A
200米
6. 如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，
从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，
求飞机的高度PO .
U
D
P
解：如图，过点P作PC⊥BA的延长线于点C.
C
则∠PBO=∠CPB=45°，
∠CPA=30°，
∴PC=BC=200+AC，
tan30°=
∴AC= 米，
PO=BC= 米.
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7、两座建筑物DA与CB，其地面距离DC为50.4米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角α=20°，测得其底部C的俯角β=35°.求这两座建筑物的高.(精确到0.1米)
C
B
A
D
α
β
50.4
E
则AD=EC=AE·tanβ≈50.4×0.7≈35.3(米)
解：如图AD=EC，
Rt△AEC中，tanβ=
Rt△ABE中，tanα=
则BE=AE·tanα≈50.4×0.36≈18.1(米)
BC=EC+BE=35.3+18.1=53.4(米)
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课堂小结
利用仰俯角解直角三角形
仰角、俯角的概念
运用解直角三角形解决仰角、俯角问题
28.2.3 利用仰俯角解直角三角形
模型一
模型二
模型三
模型四
仰角、俯角问题的常见基本模型：
A
D
B
E
C
C
D
A
B
A
C
B
D
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