2.2 二次函数的图象与性质（第2课时） 课件 (共30张PPT)

(共30张PPT)
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的
图象与性质
北师大版九年级下册
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质，学会画该函数的抛物线；
2、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.
3、学会区分y=ax2和y=ax2+c的联系与区别，并且掌握这两种图象之间的平移关系；
导入新课
观察与思考
羽毛球的运动轨迹可以用y=ax2的图象刻画,大家能回忆出二次函数y=x2的性质吗？
讲授新课
知识点一 二次函数y=ax2的图象与性质
合作探究
画出函数 的图象.
列表.
x ··· －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 ···
··· ···
4.5
2
0.5
0
4.5
2
0.5
描点，连线.
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
观察思考
问题1 二次函数y=2x2的图象是什么形状？
二次函数y=2x2的图象是一条抛物线，
并且抛物线开口向上.
问题2 图象的对称轴是什么？
y轴就是它的对称轴.
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
问题3 图象的顶点坐标是什么？
原点 (0,0).
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.
问题5 当x<0时，随着x值的增大，
y值如何变化？当x>0时呢？
y＝ax2 a>0 a<0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
要点归纳
y
O
x
y
O
x
顶点坐标是原点（0，0）
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.
合作探究
问题 在同一直角坐标系中画出二次函数
的图象如图，观察其开口大小与a的绝对值有什么关系？
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.
问题 在同一直角坐标系中，画出函数
的图象如图所示，观察其开口大小与a的绝对值
有什么关系？
要点总结：在二次函数y=ax2中，a的绝对值越大，开口越小.
知识点二 二次函数y=ax2+c的图象与性质
合作探究
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
解：先列表：
x ··· －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 ···
y =2 x2＋1 ··· ···
y = 2x2－1 ··· ···
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
－1
1
3.5
7
再描点，连线
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2 有什么关系？
可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
下
y=2x2+1
上
二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到.
当c < 0 时,向下平移-c个单位长度得到.
二次函数y=ax2 与y=ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
要点归纳
二次函数 y=ax2+c的性质
y=ax2+c a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
要点归纳
向上
向下
直线x=0
直线x=0
（0,c）
当x=0时，y最小值=c
当x=0时，y最大值=c
当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.
（0,c）
例：如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．
解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
∴AB＝4.
∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，
∴ ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.
当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝± ，
此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)；
当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝± ，
此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)．
当堂练习
1．抛物线y=2x2+4的顶点坐标是（　　）
A．(4,0) B．(0,4) C．(2,4) D．(4,2)
【答案】B
【分析】形如y=ax2+k的顶点坐标为(0,k)，据此可以直接求顶点坐标．
【详解】解：抛物线y=2x2+4的顶点坐标为(0,4)．
故选：B．
2．关于二次函数y=2x2+1，下列说法正确的是（　　）
A．它的开口方向向下 B．对称轴是直线x=1
C．当x<0时，y随x的增大而增大
D．当x=0时，y有最小值是1
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
3．已知点A(-2,y1)，B(2,y2)，C(5,y3)在二次函数y=-3x2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1
C．y1=y2＞y3 D．y1=y2＜y3
【答案】C
【分析】根据二次函数y=-3x2+k的图象，开口向下，对称轴为x=0，根据二次函数图象的对称性可知，A(-2,y1)与点B(2,y2)对称，进而根据当x＞0时，y随x的增大而减小进行判断即可．
4．关于二次函数y=2x2+1，下列说法正确的是（　　）
A．它的开口方向向下
B．它的顶点坐标是(2,1)
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．当x=0时，y有最小值是1
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：∵二次函数y=2x2+1，
∴该函数的图象开口向上，对称轴是y轴，它的顶点坐标为(0,1)，
∴当x=0时，函数有最小值1，当x＞0时，y随x的增大而增大，
故选项A、B、C错误，选项D正确；
故选：D．
5．已知函y=x2+2数，当-2≤x≤3时，则函数值y的取值范围是_____．
【答案】2≤y≤11
【分析】根据函数表达式，求出函数的对称轴，根据开口方向判断函数的增减性即可解答．
【详解】解：∵y=x2+2，
∴函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,2)，
∴当x=0时，函数有最小值：y=2，
当x=3时，y=32+2=11，
故答案为：2≤y≤11．
6．抛物线y＝－x2＋15开口向______，有最______点，顶点坐标是______．
【答案】 下 高 （0，15）
【分析】根据抛物线的开口方向判断该抛物线的最值情况；根据顶点坐标公式求得顶点坐标．
【详解】∵抛物线y=﹣x2+15的二次项系数a=﹣1＜0，
∴抛物线y=﹣x2+15的图象的开口方向是向下，
∴该抛物线有最大值；
当x=0时，y取最大值，即y最大值=15；
∴顶点坐标是（0，15）．
故答案为：下、高、（0，15）．
7．二次函数y＝﹣2x2+1的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1≠x2，y1＝y2，当x＝x1+x2时，对应的函数值y＝___．
【答案】1
【分析】根据二次函数的性质和已知函数的解析式得出函数的对称轴是y轴，函数的图象关于y轴对称，根据已知条件得出x1+x2＝0，再求出答案即可．
【详解】解：∵二次函数y＝﹣2x2+1的对称轴是y轴（即直线x＝0），函数的图象关于y轴对称，
∵二次函数y＝﹣2x2+1的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1≠x2，y1＝y2，
∴x1＝﹣x2，即x1+x2＝0，
当x＝x1+x2＝0时，y＝﹣2×02+1＝1，
故答案为：1．
8．若抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0），B（n，0），与y轴交于点C（0，c），则称△ABC为“抛物三角形”，特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc＞0时，称△ABC为倒抛物三角形，那么，当△ABC为倒抛物三角形时，a，c应分别满足条件____．
【答案】a<0，c>0
【分析】根据m、n关于y轴对称，则mn<0，则c的符号即可确定，然后根据抛物线与x轴有交点，则可以确定开口方向，从而确定a的符号．
【详解】∵抛物线y=ax2+c的对称轴是y轴，
∴A（m，0）、B（n，0）关于y轴对称，
∴mn<0，
又∵mnc<0，
∴c>0，即抛物线与y轴的正半轴相交，
又∵抛物线y=ax2+c与x轴交于点A（m，0）、B（n，0），
∴函数开口向下，
∴a<0．
故答案是：a<0，c>0．
9．已知抛物线y=．
(1)确定该抛物线的开口方向、顶点坐标；
(2)将抛物线y=先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到一个新抛物线．直接写出新抛物线的解析式．
【详解】（1）解：∵-＜0
∴抛物线开口方向向下
∵y=-x2+8
∴顶点坐标为（0,8）
（2）∵将抛物线y=先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∴新抛物线的解析式为：y=，即y=．
10．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+2ax（0＜a＜3）上，其中x1＜x2．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若A（﹣2，y1），B（0，y2），直接写出y1，y2的大小关系；
（3）若x1+x2＝1﹣a，比较y1，y2的大小，并说明理由．
（3）由题意得：
y1=y2
=ax12+2ax1-(ax22+2ax2)
=a(x1-x2)(x1+x2+2)
=a(x1-x2)(3-a)
∵0＜a＜3，x1＜x2
∴y1-y2<0，
即：y1【详解】解：（1）由题意得：对称轴x==-1；
（2）∵0＜a＜3，
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴x=-1，
∴|-2-(-1)|=1，|1-(-1)|=1
∴A、B两点到对称轴的距离相等，即：y1=y2
课堂小结
二次函数y=ax2+c（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
开口方向由a的符号决定；
c决定顶点位置；
对称轴是y轴.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
c正向上；
c负向下.