2.2 二次函数的图象与性质（第1课时）课件 (共27张PPT)

(共27张PPT)
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 y=x2和y=－x2的图象与性质
北师大版九年级下册
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线；
2、掌握用描点法画y=x2和y=-x2的图象；
3、掌握y=ax2的图象与性质，并灵活运用该图像的性质解决问题；
导入新课
温故知新
1、一次函数y=kx+b(k≠0)
x
y
o
b<0
b>0
b=0
x
y
o
b<0
b>0
b=0
你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
2、反比例函数
0
x
y
讲授新课
知识点一 二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
你会用描点法画二次函数 y=x2 的图象吗
9
4
1
0
1
9
4
合作探究
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2
4
-2
-4
0
3
6
9
x
y
函数图象画法
列表
描点
连线
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3. 连线：如图，再用光滑的曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
观察思考
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9　 4　 1　 0　 1　 4　 9　 …　
问题1 你能描述图象的形状吗？
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，
并且抛物线开口向上.
当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
问题2 图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，(0,0).
问题3 当x<0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x>0
时呢？
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
－3
3
o
3
6
9
x
y
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点,
它是图象的最低点，
为(0,0).
问题5 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴
是什么？
这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴.
练一练：画出函数y=－x2的图象，并仿照y=x2的性质说
出y=－x2有哪些性质？
y
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　
合作探究
抛物线关于y轴对称.
顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点.
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
图象是一条开口向下的抛物线.
当x<0时，y随x的增大而增大；
当x>0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，ymax=0.
y＝x2 y＝－x2
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
要点归纳
y
O
x
y
O
x
典例精析
【例1】已知 是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小，则a=________.
解析：由题意可知
解得a=3或a=-3.
又∵当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴a=3.
3
当堂练习
1．抛物线y=(x-3)2的顶点坐标是（　　）
A．(3,0) B．(-3,0) C．(0,3) D．(0,-3)
【答案】A
【分析】根据y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k)求解即可．
【详解】解：抛物线y=(x-3)2的顶点坐标是(3,0)，
故选A．
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图像上，则下列结论正确的是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，结合-2＜0确定开口向下，确定对称轴为y轴，看(1,y1),(2,y2),(-3,y3)到对称轴的距离，当二次函数图像开口向下时，点离对称轴距离越近函数值越大；越远函数值越小，比较各点到对称轴的距离即可确定函数值大小．
3．若抛物线 的开口向上，则m的值为（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．1
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义和性质解答即可．
【详解】解：∵抛物线 的开口向上，
∴m2-2=2，m+1＞0，
∴m=±2，m＞-1，
∴m=2．
故选：A．
4．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1,a2,a3,a4的大小关系是（ ）
A．a1＞a2＞a3＞a4 B．a2＞a1＞a4＞a3
C．a2＞a1＞a3＞a4 D．a1＞a2＞a4＞a3
【答案】A
【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
5．已知原点是抛物线y=(m+1)x2的最高点，则m的范围是 ___________．
【答案】m＜-1
【分析】由抛物线有最高点可得m+1＜0，进而求解．
【详解】解：∵y=(m+1)x2，
∴抛物线顶点坐标为(0,0)，
当m+1＜0时，抛物线有最高点，
∴m＜-1，
故答案为：m＜-1．
6．若点A(-1,y1),B(3,y2)，在抛物线y=x2上，则y1，y2的大小关系为：y1______y2（填“>”，“=”或“<”）．
【答案】<
【分析】由抛物线开口向上可得距离对称轴越远的点y值越大，从而求解．
【详解】解：由y=x2可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∵|-1|＜|3|，
∴y1＜y2，
故答案为：<．
7．关于抛物线y=-x2，给出下列说法：
①物线开口向下，顶点是原点；
②当x＞1时，y随x的增大而减小；
③当-1＜x＜2时，-4＜y＜-1；
④若(m,p)、(n,p)是该抛物线上两点，则m+n=0．
其中正确的说法有 _____．
【答案】①②④
【分析】直接根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：∵y=-x2，
∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项正确；
②对称轴为x=0，当x＞1时，y随x的增大而减小，故该项正确；
③当-1＜x＜2时，x=0时取最大值0，x=2时取最小值-4，因此-4＜y≤0，故该项错误；
④若(m,p)、(n,p)是该抛物线上两点，则两点关于直线x=0对称，因此m+n=0，故该项正确．
故答案为：①②④．
8．已知二次函数y=(2m-3)x2有最大值，则m取值范围是___________．
【答案】m＜
【分析】直接根据二次函数的性质作答即可．
【详解】解：∵二次函数y=(2m-3)x2有最大值，
∴二次函数图象开口向下，
∴2m-3＜0，
解得m＜，
故答案为．m＜
9．现有三张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字-1，0，1，把这三张卡片背面朝上洗匀后方在桌面上，
(1)随机的取一张卡片，求抽取的卡片的数字为负数的概率；
(2)先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，试用画树状图或到表的方法求点A在抛物线y=x2上的概率．
【详解】（1）解：∵数字-1，0，1，只有1个负数，
∴随机的取一张卡片，抽取的卡片的数字为负数的概率=；
（2）解：画树状图如下：
在抛物线y=x2上的坐标为：(-1,1),(1,1),(0,0)，有3个，
∴点A在抛物线y=x2上的概率=．
10．根据下列条件分别求a的取值范围．
(1)函数y=(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
(2)函数y＝(3a-2)x2有最大值；
(3)抛物线y=(a+2)x2与y=-的形状相同；
(4)函数y=ax2的图象是开口向上的抛物线．
【答案】(1)a＜2 ；
(2)a＜ ；
(3) a=-或 ；
(4)a＞0 ．
【分析】（1）根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y随x增大而增大，可得答案；
（2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0；
（3）根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反数；
（4）根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系．
课堂小结
二次函数y=x2和y=－x2图象与性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性