2.1 二次函数 课件 (共28张PPT)

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第二章 二次函数
2.1 二次函数
北师大版九年级下册
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课堂小结
学习目标
1、掌握二次函数的概念和形式，学会用函数表达式表示二次函数；
2、学会运用二次函数的概念去解决实际问题，注意二次函数的取值范围；
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温故知新
问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？
如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y总有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数.
观察思考：下面四幅图，都是一次函数的图象，说一说k、b的取值范围吧！
函 数
一次函数
反比例函数
y=kx+b (k≠0)
(正比例函数) y=kx (k≠0)
问题2 我们学过哪些函数？
思考 一个边长为x的正方形的面积y为多少？y是x的函数吗？是我们学过的函数吗？
y=x2，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.这个函数不是我们学过的函数.
思考：这种函数叫什么？这节课我们一起来学习吧.
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知识点一 二次函数的定义
问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
合作探究
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果要使得果园橙子的总产量为60320个,那么应该增种多少棵橙子树？
(4)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子
y=(100+x)(600-5x)
=-5x +100x+60000.
(100+x)(600-5x)=60320 解得，
对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
问题2 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 a，表面积为 S，则 S 关于a 的关系式为 .
S=6a2
正确列出正方体的表面积公式，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
问题3 某水产养殖户用长60m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.你能列出矩形水面的面积关于矩形水面的边长的关系式吗？
设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水面的另一边长应为（30-x）m.若它的面积是S m2，则有
此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.
分析上面三个函数关系式，你发现了什么？
y=(100+x)(600-5x)=-5x +100x+60000.
S=6a2
二次函数的定义：
一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数.
归纳总结
a为二次项系数，ax2叫做二次项；
b为一次项系数，bx叫做一次项；
c为常数项.
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；
例1
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：
（1）由题可知
解得
（2）由题可知
解得
m=3.
第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
典例精析
注意
1.把下列函数化成一元二次函数的一般式.
(1)y=(x-2)(x-3);
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2;
(3)y=-2(x+3)2.
解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6;
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6;
(3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18.
练一练
知识点二 二次函数的自变量取值范围
问题4：上述问题中的三个函数的自变量的取值范
围是什么？
① y=(100+x)(600-5x)=-5x +100x+60000.
② y=6x2
①∵600-5x>0，x＞0，∴0≤x<120，且x为整数.
②x>0.
③∵30-x>0，∴0例2一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形．剩余部分的面积为ycm2.写出y与x之间的函数关系式，并指出y是
x的什么函数？
解：由题意得y＝122－2x(x+1)，
又∵x+1<2x≤12，∴1即y＝－2x2－2x＋144(1∴y是x的二次函数.
分析：本题中的数量关系是：
剩余面积=正方形面积-长方形面积.
当堂练习
1．下列函数属于二次函数的是（　　）
A．y=x- B．y=（x-3）2-x2
C．y=ax2+2x+1 D．y=2（x+1）2-1
故选：D．
【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c，则y是x的二次函数，从而可得答案．
2．如果函数y=（m-3）x（m2-3m+2）+mx+1是二次函数，那么m的值一定是（　　）
A．0 B．3 C．0，3 D．1，2
【答案】A
【点睛】此题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【分析】根据二次函数的定义得到m2-3m+2=2，解方程即可求出m的值．
3．下列选项描述的y与x之间的关系是二次函数的是（ ）
A．正方体的体积y与棱长x之间的关系
B．某商品在6月的售价为30元，7月和8月连续两次降价销售，平均每月降价的百分率为x，该商品8月的售价y与x之间的关系
C．距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系
D．等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的关系
【答案】B
【详解】解：A、正方体的体积y与棱长x之间的关系为：y=x3 ，y与x不是二次函数关系，不符合题意；
B、该商品8月的售价y与x之间的关系为：y=30（1-x）2 ，y与x是二次函数关系；符合题意；
C、距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间成反比例关系，不符合题意；
D、等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间成一次函数关系，不符合题意；
故选：B．
4．如果y=(m-2)x2+(m-1)x是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≠2
C．m≠2且m≠1 D．全体实数
【答案】B
【分析】直接利用二次函数的定义得出答案．
【详解】∵y=(m-2)x2+(m-1)是关于x的二次函数，
∴m-2≠0，
∴m≠2，
故选B．
5．若函数y=(m+是二次函数，则m=______．
【答案】
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是根据二次函数的定义列出关于m的方程和不等式．
6．圆的半径为x（cm），那么圆的面积y（cm2）可以表示为y＝πx2；存入银行2万元，先存一个一年期，一年后将本息转存为又一个一年期，设年利率均为x，那么两年后共得本息y（万元）可以表示为y＝2（1+x）2；…还可以表示许多不同情境中变量之间的类似这种特殊函数关系，请你再列举一例：_____．
【答案】一个圆柱的高等于底面半径，那么它的表面积S与半径r之间的关系式为S=4πr3
7．已知函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3（m为常数）．
（1）当m_______时，该函数为二次函数；
（2）当m_______时，该函数为一次函数．
【答案】 ≠2 =2
【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出m的取值范围；
（2）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出m的值；
8．已知函数y=m(m+2)x2+mx+m+1．
(1)当m为何值时，此函数是一次函数？
(2)当m为何值时，此函数是二次函数？
【答案】(1)-2
(2)m≠-2且m≠0
【详解】（1）解：∵函数y=m(m+2)x2+mx+m+1是一次函数，
∴m(m+2)=0且m≠0，
解得：m=-2；
当m=-2时，此函数是一次函数；
（2）解：∵函数y=m(m+2)x2+mx+m+1是二次函数，
∴m(m+2)≠0，
解得：m≠-2且m≠0，
当m≠-2且m≠0时，此函数是二次函数．
9．某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80,x=50时，y=10．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．
(1)求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
【答案】(1)y=-2x+200(30≤x≤70)；
(2)w=-2x2+260x-6450(30≤x≤70)
【详解】（1）设y与x的函数关系式为
y=kx+b．
∵x=60时，y=80，
x=50时，y=100，
解得，
∴y=-2x+200
根据部门规定，得30≤x≤70．
（2）
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
课堂小结
二次函数
定 义
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数)
一般形式
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0.
特殊形式
y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数).