第二十八章 锐角三角函数 章末复习 课件(共31张PPT)
文档属性
| 名称 | 第二十八章 锐角三角函数 章末复习 课件(共31张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-23 19:26:57 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
锐角三角函数
章节总结
第二十八章
锐角三角函数为解直角三角形的基础，及提供了有效的工具。相似三角形的知识是学习锐角三角函数的直接基础，勾股定理等内容也是解直角三角形时经常使用的数学结论，因此本章与“勾股定理”和“相似”两章有着密切关系。
学习目标
1）理解正弦、余弦和正切的概念，并能简单运用。
2）掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简。
3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
重点
运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
难点
运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
基础巩固（锐角三角函数）
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA.
对边
A
B
C
c
a
b
斜边
即 sin A= =
正弦的表示：
1）sinA 、 sin40 ° 、 sinα（省去角的符号）
2）sin∠ABC、 sin∠1 （不能省去角的符号）
基础巩固（锐角三角函数）
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA.
即 cos A= =
对边
A
B
C
c
a
b
斜边
邻边
正弦和余弦的注意事项：
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。
3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
基础巩固（锐角三角函数）
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA。
即 tan A= =
对边
A
B
C
c
a
b
斜边
邻边
对于锐角A的每一个确定的值，
sinA、cosA、tanA都有唯一的确定的值与它对应，
所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数。
基础巩固（锐角三角函数）
锐角a 三角 函数 30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
1
小结
1）对于sinα与tanα，角度越大，函数值越越大；
对于cosα，角度越大，函数值越越小.
2）互余两角之间的三角函数关系：
若∠A+∠B=90°，则sinA = cosB，
cosA = sinB，
tanA · tanB =1 .
3）当A,B均为锐角时，若A≠B，则sinA ≠ sinB，cosA ≠ cosB，tanA ≠ tanB
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
基础巩固（解直角三角形）
一般地，直角三角形中，除直角外共有五个元素，即三条边和两个锐角。
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫解直角三角形。
直角三角形五个元素：
边：a、b、c
角：∠A、∠B
勾股定理（）
∠A+∠B=90°
cos A= =
tan A= =
sin A= = sin B= =
直角三角形除直角外五个元素只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。
题型一（利用正弦求解）
1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，AB＝10，那么∠A的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，AB＝10，由勾股定理得，BC＝，所以sinA＝，故选C．
2 如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA的值为 __________
【详解】由图可知：，∴；故选A．
3 在RtABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝2，则AB等于（ ）
A． B．4 C．4 D．6
【详解】解：在中，，
，，，故选：D．
题型二（利用余弦求解）
1 在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角的余弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
【详解】如图，cosA=，根据分数的基本性质，得=，∴余弦值不变，故选D．
2 如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】cosα=.故选D.
3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为_____．
【详解】∵∠C=90°，AB=6，∴∴BC=4.
题型三（利用正切求解）
1 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【详解】如图，连接BC，由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，则tan∠BAC=1，故选B．
2 如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα= ，则t的值是________．
【详解】∵点A（t，3）在第一象限，∴AB=3，OB=t，
又∵tanα==，∴t=2．故答案为2．
题型三（利用正切求解）
3 已知：如图，中，于点，若，，求．
【详解】
解：∵ ∴CD=4
∵ ∴ ∴AD=BD=6 ∴tanC=
题型四（利用特殊角三角函数求解）
1 在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【详解】∵cosA=，tanB=，∴∠A=45°，∠B=60°．
∴∠C=180°-45°-60°=75°．∴△ABC为锐角三角形．故选A．
2 计算：（）﹣1+tan30° sin60°=（ ）
A．﹣ B．2 C． D．
【详解】（）﹣1+tan30° sin60°=2+=2+=，故选C．
题型五（锐角三角函数的增减性）
1 当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜45°
【详解】∵cos60°=， cos30°=， ∴30°＜∠A＜60°．故选B．
2 已知，那么锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵α=45°时sinα=cosα，当α是锐角时sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小，
∴45°＜α＜90°．故选D．
3 若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是( )
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
【详解】∵α是锐角，∴cosα>0，∵cosα<，∴0∵α是锐角，∴tanα>0，∵tanα<，∴0故45°<α<60°.故选B.
题型六（解直角三角形）
1 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为________
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：由，且可知，，由，且可知，，∴在中，由勾股定理有：．故选：B．
2 在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，
∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，
∵AB=4，AC=2，∴AD=1，CD=，BD=5，∴BC==2，∴sinB=．故选B．
题型六（解直角三角形）
3 如图，已知A点坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
解：∵直线的解析式是y=x+b，∴OB=OC=b，则∠BCA=45°；
又∵∠α=75°=∠BCA+∠BAC=45°+∠BAC（外角定理），
∴∠BAC=30°；而点A的坐标是（5，0），∴OA=5，
在Rt△BAO中，∠BAC=30°，OA=5，∴tan∠BAO==，
∴BO=，即b=．故答案是B．
题型七（利用解直角三角形解决实际问题）
1 如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【详解】在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，BO=AB sinα=300sinα米．故选A．
2 南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为___________
【详解】在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝，tanβ＝，
∴BC＝atanα，BD＝atanβ，
∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ，故选C．
题型七（利用解直角三角形解决实际问题）
3 如图，竖直放置的杆，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得为10米，为8米，斜与地面成30°角，则杆的高度为（ ）米．
A． B． C．8 D．6
【详解】
解：如图：延长AB交水平线于点E,过C作DE的垂线,垂足为F,则CF=BE,BC=EF
∵∠CDE=30°，CD=8 ∴CF=CD·sin30°=8=4，DF=CD·cos30°=8=
∴DE= EF+DF=10+又∵1米的杆影长恰好为1米
∴AE:DE=1:1，即AE=DE=10+
∴AB=AE-BE=10+-4=6+．
故答案为A．
题型七（利用解直角三角形解决实际问题）
4 如图，海面上一艘船由西向东航行，在处测得正东方向上一座灯塔的最高点的仰角为，再向东继续航行到达处，测得该灯塔的最高点的仰角为．根据测得的数据，计算这座灯塔的高度（结果取整数）．参考数据：，，．
【详解】
解：如图，根据题意，，，，．
∵在中，，∴．
∵在中，，∴．
又，∴．
∴．
答：这座灯塔的高度约为45m．
在中考中，直角三角形在中考常结合勾股定理、面积法在选择题、填空题考查；锐角三角形函数常在选择题、填空题考查，并且结合实际问题考查。
中考真题
1 （2022·福建·中考真题）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（ ）
A．96 B． C．192 D．
【详解】解：依题意为平行四边形，
∵，，AB＝8，．
∴平行四边形的面积=
故选B
中考真题
2．（2022·陕西·中考真题）如图，是的高，若，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵，∴，
∵直角中，，
∴，
∴直角中，由勾股定理可得，．
故选D．
中考真题
3．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，
∵每个小正方形的边长为1，∴，
设，则，在中，,
在中，,∴，解得x=2，
∴，
故选：C．
中考真题
4．（2022·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【详解】解：由题意得：MN垂直平分AD，，
∴，
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，∴，
∴AD=4，AF=2，，∴；
故选A．
中考真题
5．（2022·浙江金华·中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则房顶A离地面的高度为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，
∴m，
，即，
房顶A离地面的高度为，
故选B．
中考真题
6．（2022·湖北随州·中考真题）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，，则建筑物AB的高度为（ ）
A． B．C． D．
【详解】设AB=x，由题意知，∠ACB=α,∠ADB=β,∴，，
∵CD=BC-BD，∴，
∴，即AB=，
故选：D．
中考真题
7．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°．在Rt△CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，
在Rt△CDA中，AD=CD×tan45°=m×cosα×tan45°=mcosα，
∴AB=AD-BD=（mcosα-msinα）=m（cosα-sinα）．故选：A．
中考真题
8．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高( )
A．(600－250)米 B．(600－250)米
C．(350＋350)米 D．500米
【详解】解：如答图，∵BE：AE=5：12，∴可设BE=5k，AE=12k，
∵AB=1300米，∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，
即，解得k=100．∴AE=1200米，BE=500米．
设EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF=x米．
又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．∴1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．
∴DF=x=600﹣750．∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．
∴山高CD为（600﹣250）米．
故选B．
中考真题
9．（2022·重庆·中考真题）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东．
(1)求步道的长度（精确到个位）；
(2)点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，）
（1）解：过作的垂线，垂足为H，
∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，∴四边形ACHE是矩形，
∴米，根据题意得：∠D=45°，
∴△DEH为等腰直角三角形，∴DH=EH=200米，
∴（米）；
中考真题
9．（2022·重庆·中考真题）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东．
(1)求步道的长度（精确到个位）；
(2)点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，）
（2）解： 根据题意得：∠ABC=∠BAE=30°，
在中，∴米，
∴经过点到达点，总路程为AB+BD=500米，
∴（米），
∴（米），∴经过点到达点，总路程为，
∴经过点到达点较近．
中考真题
10．（2022·安徽·中考真题）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：
锐角三角函数
章节总结
第二十八章
锐角三角函数为解直角三角形的基础，及提供了有效的工具。相似三角形的知识是学习锐角三角函数的直接基础，勾股定理等内容也是解直角三角形时经常使用的数学结论，因此本章与“勾股定理”和“相似”两章有着密切关系。
学习目标
1）理解正弦、余弦和正切的概念，并能简单运用。
2）掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简。
3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
重点
运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
难点
运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
基础巩固（锐角三角函数）
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA.
对边
A
B
C
c
a
b
斜边
即 sin A= =
正弦的表示：
1）sinA 、 sin40 ° 、 sinα（省去角的符号）
2）sin∠ABC、 sin∠1 （不能省去角的符号）
基础巩固（锐角三角函数）
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA.
即 cos A= =
对边
A
B
C
c
a
b
斜边
邻边
正弦和余弦的注意事项：
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。
3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
基础巩固（锐角三角函数）
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA。
即 tan A= =
对边
A
B
C
c
a
b
斜边
邻边
对于锐角A的每一个确定的值，
sinA、cosA、tanA都有唯一的确定的值与它对应，
所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数。
基础巩固（锐角三角函数）
锐角a 三角 函数 30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
1
小结
1）对于sinα与tanα，角度越大，函数值越越大；
对于cosα，角度越大，函数值越越小.
2）互余两角之间的三角函数关系：
若∠A+∠B=90°，则sinA = cosB，
cosA = sinB，
tanA · tanB =1 .
3）当A,B均为锐角时，若A≠B，则sinA ≠ sinB，cosA ≠ cosB，tanA ≠ tanB
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
基础巩固（解直角三角形）
一般地，直角三角形中，除直角外共有五个元素，即三条边和两个锐角。
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫解直角三角形。
直角三角形五个元素：
边：a、b、c
角：∠A、∠B
勾股定理（）
∠A+∠B=90°
cos A= =
tan A= =
sin A= = sin B= =
直角三角形除直角外五个元素只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。
题型一（利用正弦求解）
1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，AB＝10，那么∠A的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，AB＝10，由勾股定理得，BC＝，所以sinA＝，故选C．
2 如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA的值为 __________
【详解】由图可知：，∴；故选A．
3 在RtABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝2，则AB等于（ ）
A． B．4 C．4 D．6
【详解】解：在中，，
，，，故选：D．
题型二（利用余弦求解）
1 在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角的余弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
【详解】如图，cosA=，根据分数的基本性质，得=，∴余弦值不变，故选D．
2 如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】cosα=.故选D.
3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为_____．
【详解】∵∠C=90°，AB=6，∴∴BC=4.
题型三（利用正切求解）
1 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【详解】如图，连接BC，由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，则tan∠BAC=1，故选B．
2 如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα= ，则t的值是________．
【详解】∵点A（t，3）在第一象限，∴AB=3，OB=t，
又∵tanα==，∴t=2．故答案为2．
题型三（利用正切求解）
3 已知：如图，中，于点，若，，求．
【详解】
解：∵ ∴CD=4
∵ ∴ ∴AD=BD=6 ∴tanC=
题型四（利用特殊角三角函数求解）
1 在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【详解】∵cosA=，tanB=，∴∠A=45°，∠B=60°．
∴∠C=180°-45°-60°=75°．∴△ABC为锐角三角形．故选A．
2 计算：（）﹣1+tan30° sin60°=（ ）
A．﹣ B．2 C． D．
【详解】（）﹣1+tan30° sin60°=2+=2+=，故选C．
题型五（锐角三角函数的增减性）
1 当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜45°
【详解】∵cos60°=， cos30°=， ∴30°＜∠A＜60°．故选B．
2 已知，那么锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵α=45°时sinα=cosα，当α是锐角时sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小，
∴45°＜α＜90°．故选D．
3 若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是( )
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
【详解】∵α是锐角，∴cosα>0，∵cosα<，∴0
题型六（解直角三角形）
1 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为________
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：由，且可知，，由，且可知，，∴在中，由勾股定理有：．故选：B．
2 在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，
∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，
∵AB=4，AC=2，∴AD=1，CD=，BD=5，∴BC==2，∴sinB=．故选B．
题型六（解直角三角形）
3 如图，已知A点坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
解：∵直线的解析式是y=x+b，∴OB=OC=b，则∠BCA=45°；
又∵∠α=75°=∠BCA+∠BAC=45°+∠BAC（外角定理），
∴∠BAC=30°；而点A的坐标是（5，0），∴OA=5，
在Rt△BAO中，∠BAC=30°，OA=5，∴tan∠BAO==，
∴BO=，即b=．故答案是B．
题型七（利用解直角三角形解决实际问题）
1 如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【详解】在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，BO=AB sinα=300sinα米．故选A．
2 南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为___________
【详解】在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝，tanβ＝，
∴BC＝atanα，BD＝atanβ，
∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ，故选C．
题型七（利用解直角三角形解决实际问题）
3 如图，竖直放置的杆，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得为10米，为8米，斜与地面成30°角，则杆的高度为（ ）米．
A． B． C．8 D．6
【详解】
解：如图：延长AB交水平线于点E,过C作DE的垂线,垂足为F,则CF=BE,BC=EF
∵∠CDE=30°，CD=8 ∴CF=CD·sin30°=8=4，DF=CD·cos30°=8=
∴DE= EF+DF=10+又∵1米的杆影长恰好为1米
∴AE:DE=1:1，即AE=DE=10+
∴AB=AE-BE=10+-4=6+．
故答案为A．
题型七（利用解直角三角形解决实际问题）
4 如图，海面上一艘船由西向东航行，在处测得正东方向上一座灯塔的最高点的仰角为，再向东继续航行到达处，测得该灯塔的最高点的仰角为．根据测得的数据，计算这座灯塔的高度（结果取整数）．参考数据：，，．
【详解】
解：如图，根据题意，，，，．
∵在中，，∴．
∵在中，，∴．
又，∴．
∴．
答：这座灯塔的高度约为45m．
在中考中，直角三角形在中考常结合勾股定理、面积法在选择题、填空题考查；锐角三角形函数常在选择题、填空题考查，并且结合实际问题考查。
中考真题
1 （2022·福建·中考真题）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（ ）
A．96 B． C．192 D．
【详解】解：依题意为平行四边形，
∵，，AB＝8，．
∴平行四边形的面积=
故选B
中考真题
2．（2022·陕西·中考真题）如图，是的高，若，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵，∴，
∵直角中，，
∴，
∴直角中，由勾股定理可得，．
故选D．
中考真题
3．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，
∵每个小正方形的边长为1，∴，
设，则，在中，,
在中，,∴，解得x=2，
∴，
故选：C．
中考真题
4．（2022·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【详解】解：由题意得：MN垂直平分AD，，
∴，
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，∴，
∴AD=4，AF=2，，∴；
故选A．
中考真题
5．（2022·浙江金华·中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则房顶A离地面的高度为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，
∴m，
，即，
房顶A离地面的高度为，
故选B．
中考真题
6．（2022·湖北随州·中考真题）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，，则建筑物AB的高度为（ ）
A． B．C． D．
【详解】设AB=x，由题意知，∠ACB=α,∠ADB=β,∴，，
∵CD=BC-BD，∴，
∴，即AB=，
故选：D．
中考真题
7．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°．在Rt△CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，
在Rt△CDA中，AD=CD×tan45°=m×cosα×tan45°=mcosα，
∴AB=AD-BD=（mcosα-msinα）=m（cosα-sinα）．故选：A．
中考真题
8．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高( )
A．(600－250)米 B．(600－250)米
C．(350＋350)米 D．500米
【详解】解：如答图，∵BE：AE=5：12，∴可设BE=5k，AE=12k，
∵AB=1300米，∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，
即，解得k=100．∴AE=1200米，BE=500米．
设EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF=x米．
又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．∴1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．
∴DF=x=600﹣750．∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．
∴山高CD为（600﹣250）米．
故选B．
中考真题
9．（2022·重庆·中考真题）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东．
(1)求步道的长度（精确到个位）；
(2)点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，）
（1）解：过作的垂线，垂足为H，
∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，∴四边形ACHE是矩形，
∴米，根据题意得：∠D=45°，
∴△DEH为等腰直角三角形，∴DH=EH=200米，
∴（米）；
中考真题
9．（2022·重庆·中考真题）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东．
(1)求步道的长度（精确到个位）；
(2)点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，）
（2）解： 根据题意得：∠ABC=∠BAE=30°，
在中，∴米，
∴经过点到达点，总路程为AB+BD=500米，
∴（米），
∴（米），∴经过点到达点，总路程为，
∴经过点到达点较近．
中考真题
10．（2022·安徽·中考真题）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：