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人教A版高中数学必修二 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 同步练习
一、单选题
1．若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的（ ）
A． 倍 B．3倍 C．2倍 D．5倍
2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是 ，则长方体的侧面积等于 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．3
3．圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为 （ ）
A． cm3 B． cm3
C． cm3或 cm3 D．192π cm3
4．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为 （ ）
A．1 B． C． D．
6．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是（ ）
A． ＋1 B． ＋3 C． ＋1 D． ＋3
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．180 B．200 C．220 D．240
9．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 （ ）
A． B． C． D．
10．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
二、填空题
11．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为 .
12．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为V1、V2，若它们的的侧面积相等且S1︰S2＝9︰4，则V1︰V2＝ .
13．已知圆柱OO′的母线l＝4 cm，全面积为42π cm2，则圆柱OO′的底面半径r＝ cm.
14．已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为 .
三、解答题
15．如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)
16．如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为 的圆柱，求圆柱的表面积.
17．在长方体ABCD -A1B1C1D1中，截下一个棱锥C- A1DD1，求棱锥C- A1DD1的体积与剩余部分的体积之比.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意知，l＝2r，于是S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2.
故答案为：C．
【分析】圆锥的正视图是正三角形，母线长为圆锥的底面半径的2倍，求S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2.可得结论。
2．【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则c＝1，ab＝2， ，
∴a＝2，b＝1，故S侧＝2(ac＋bc)＝6.
故答案为：C.
【分析】利用面积公式求出长方体的长宽高，可得长方体的侧面积。
3．【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】圆柱的高为8 cm时， cm3，
当圆柱的高为12 cm时， cm3.
故答案为：C.
【分析】分类讨论，利用圆柱的体积公式可得结论。
4．【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由题意，V＝ (π＋2π＋4π)h＝7π，∴h＝3.
故答案为：A.
【分析】l利用圆台的体积公式，可得结论。
5．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设圆柱底面半径为R，圆锥底面半径r，高都为h，由已知得2Rh＝rh，∴r＝2R，V柱︰V锥＝πR2h︰ πr2h＝3︰4，
故答案为：D．
【分析】利用一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，求出圆柱底面半径与圆锥底面半径的，可得圆柱与圆锥的体积之比。
6．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体， ，
故答案为：B．
【分析】几何体等腰直角三角形旋转而成的旋转体，利用圆锥的体积公式，可得结论。
7．【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是 的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，
∴该几何体的体积：
故答案为：A．
【分析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是 2 的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，利用体积公式可得结论。
8．【答案】D
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；
其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4．
∴S表面积=2× ×（2+8）×4+2×5×10+2×10+8×10=240．
故答案为：D．
【分析】由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4．即可求出表面积。
9．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设正方体的棱长为 ，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，所以正方体切掉部分的体积为 ，所以剩余部分体积为 ，所以截去部分体积与剩余部分体积的比为 ，
故答案为：D．
【分析】设正方体的棱长为 1 ，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，利用三棱锥的体积公式，即可得出结论。
10．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为 ，
故答案为：B.
【分析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该几何体各面内只有两个相同的梯形，可得这些梯形的面积之和。
11．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×( ×2× )＋3×(4×2)＝24＋ .
【分析】该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，即可求出该几何体的表面积。
12．【答案】3︰2
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设甲圆柱底面半径r1，高h1，乙圆柱底面半径r2，高h2， ，∴ ，
又侧面积相等得2πr1h1＝2πr2h2，∴ .因此 .
【分析】利用面积比求出半径比，即可求出相应的体积的比。
13．【答案】3
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面积为2×πr2＝2πr2(cm2)，
∴2πr2＋8πr＝42π，
解得r＝3或r＝－7(舍去)，
∴圆柱的底面半径为3 cm.
【分析】利用圆柱侧面积、底面积公式建立方程，可得圆柱OO′的底面半径。
14．【答案】2
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】有三视图可知，斜三棱柱是底面三角形的底边长为2，高为1，斜三棱柱的高为2，故斜三棱柱的体积为 ．
【分析】斜三棱柱是底面三角形的底边长为2，高为1，斜三棱柱的高为2，即可求出斜三棱柱的体积。
15．【答案】解：正方体的表面积为4×4×6＝96(cm2)，
圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2)，
则挖洞后几何体的表面积约为96＋6.28＝102.28(cm2)．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【分析】求出正方体的表面积、圆柱的侧面积，即可得出结论。
16．【答案】解：圆锥的高 ，圆柱的底面半径 ，
S=2πr2+2πrh=2π×12+2π×1×=2π+2π=(2+2)π.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【分析】求出圆锥的高、底面半径，可得圆柱的表面积.
17．【答案】1∶5
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：设矩形ADD1A1的面积为S，AB＝h，
∴==sh.
而棱锥C- A1DD1的底面积为 S，高为h，故三棱锥C- A1DD1的体积为：＝ × S×h＝ Sh，
余下部分体积为：Sh－ Sh＝ Sh.
所以棱锥C- A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
【分析】利用体积公式可得结论。
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人教A版高中数学必修二 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 同步练习
一、单选题
1．若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的（ ）
A． 倍 B．3倍 C．2倍 D．5倍
【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意知，l＝2r，于是S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2.
故答案为：C．
【分析】圆锥的正视图是正三角形，母线长为圆锥的底面半径的2倍，求S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2.可得结论。
2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是 ，则长方体的侧面积等于 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．3
【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则c＝1，ab＝2， ，
∴a＝2，b＝1，故S侧＝2(ac＋bc)＝6.
故答案为：C.
【分析】利用面积公式求出长方体的长宽高，可得长方体的侧面积。
3．圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为 （ ）
A． cm3 B． cm3
C． cm3或 cm3 D．192π cm3
【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】圆柱的高为8 cm时， cm3，
当圆柱的高为12 cm时， cm3.
故答案为：C.
【分析】分类讨论，利用圆柱的体积公式可得结论。
4．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由题意，V＝ (π＋2π＋4π)h＝7π，∴h＝3.
故答案为：A.
【分析】l利用圆台的体积公式，可得结论。
5．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设圆柱底面半径为R，圆锥底面半径r，高都为h，由已知得2Rh＝rh，∴r＝2R，V柱︰V锥＝πR2h︰ πr2h＝3︰4，
故答案为：D．
【分析】利用一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，求出圆柱底面半径与圆锥底面半径的，可得圆柱与圆锥的体积之比。
6．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体， ，
故答案为：B．
【分析】几何体等腰直角三角形旋转而成的旋转体，利用圆锥的体积公式，可得结论。
7．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是（ ）
A． ＋1 B． ＋3 C． ＋1 D． ＋3
【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是 的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，
∴该几何体的体积：
故答案为：A．
【分析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是 2 的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，利用体积公式可得结论。
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．180 B．200 C．220 D．240
【答案】D
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；
其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4．
∴S表面积=2× ×（2+8）×4+2×5×10+2×10+8×10=240．
故答案为：D．
【分析】由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4．即可求出表面积。
9．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设正方体的棱长为 ，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，所以正方体切掉部分的体积为 ，所以剩余部分体积为 ，所以截去部分体积与剩余部分体积的比为 ，
故答案为：D．
【分析】设正方体的棱长为 1 ，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，利用三棱锥的体积公式，即可得出结论。
10．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为 ，
故答案为：B.
【分析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该几何体各面内只有两个相同的梯形，可得这些梯形的面积之和。
二、填空题
11．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为 .
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×( ×2× )＋3×(4×2)＝24＋ .
【分析】该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，即可求出该几何体的表面积。
12．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为V1、V2，若它们的的侧面积相等且S1︰S2＝9︰4，则V1︰V2＝ .
【答案】3︰2
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设甲圆柱底面半径r1，高h1，乙圆柱底面半径r2，高h2， ，∴ ，
又侧面积相等得2πr1h1＝2πr2h2，∴ .因此 .
【分析】利用面积比求出半径比，即可求出相应的体积的比。
13．已知圆柱OO′的母线l＝4 cm，全面积为42π cm2，则圆柱OO′的底面半径r＝ cm.
【答案】3
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面积为2×πr2＝2πr2(cm2)，
∴2πr2＋8πr＝42π，
解得r＝3或r＝－7(舍去)，
∴圆柱的底面半径为3 cm.
【分析】利用圆柱侧面积、底面积公式建立方程，可得圆柱OO′的底面半径。
14．已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为 .
【答案】2
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】有三视图可知，斜三棱柱是底面三角形的底边长为2，高为1，斜三棱柱的高为2，故斜三棱柱的体积为 ．
【分析】斜三棱柱是底面三角形的底边长为2，高为1，斜三棱柱的高为2，即可求出斜三棱柱的体积。
三、解答题
15．如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)
【答案】解：正方体的表面积为4×4×6＝96(cm2)，
圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2)，
则挖洞后几何体的表面积约为96＋6.28＝102.28(cm2)．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【分析】求出正方体的表面积、圆柱的侧面积，即可得出结论。
16．如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为 的圆柱，求圆柱的表面积.
【答案】解：圆锥的高 ，圆柱的底面半径 ，
S=2πr2+2πrh=2π×12+2π×1×=2π+2π=(2+2)π.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【分析】求出圆锥的高、底面半径，可得圆柱的表面积.
17．在长方体ABCD -A1B1C1D1中，截下一个棱锥C- A1DD1，求棱锥C- A1DD1的体积与剩余部分的体积之比.
【答案】1∶5
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：设矩形ADD1A1的面积为S，AB＝h，
∴==sh.
而棱锥C- A1DD1的底面积为 S，高为h，故三棱锥C- A1DD1的体积为：＝ × S×h＝ Sh，
余下部分体积为：Sh－ Sh＝ Sh.
所以棱锥C- A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
【分析】利用体积公式可得结论。
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