2.1 认识一元二次方程 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
2.1 认识一元二次方程
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.
2. 理解一元二次方程及其相关概念.
3. 经历估计一元二次方程解的过程,增进对方程解的认识,进一步培养估算意识和能力，发展数感.
学习目标
重点
难点
重点
问题一 幼儿园某教室矩形地面的长为 8m，宽为 5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
新课引入
5m
8m
如果设所求的宽度为 x m，那么你能列出怎样方程？
分析：如果设所求的宽为 x m，那么地毯中央长方形图案的长为 m，宽为　　　 m.
(8 - 2x)
(5 - 2x)
(8 - 2x)(5 - 2x ) = 18
问题二 观察下面等式:
102+ 112+ 122 = 132 + 142.
你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗
如果将这五个连续整数中的第一个数设为 x. 那么怎样用含 x 的代数式表示其余四个数？根据题意，你能列出怎样的方程？
分析：如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为： , , , . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
x+1
x+2
x+3
x+4
x + ( x + 1)2 + ( x + 2 )2 = ( x + 3)2 + ( x + 4 )2
问题三 如图，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m. 如果梯子的顶端下滑 1m，那么梯子的底端滑动多少米？
你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗？如果设梯子底端滑动 x m，那么你能列出怎样的方程
分析：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　　　m. 如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙　　 m.
6
x+6
( x + 6 )2 + 72 = 102.
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
新知学习
(8 - 2x)(5 - 2x ) = 18，
x + ( x + 1)2 + ( x + 2 )2 = ( x + 3)2 + ( x + 4 )2，
( x + 6 )2 + 72 = 102.
这三个方程有什么共同特点？
上面的方程都是只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化成
ax2 + bx + c = 0 ( a，b，c 为常数，a ≠ 0 ) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程 ( quadratic equation with one unknown ).
我们把 ax2 + bx + c = 0 (a，b，c为常数，a ≠ 0 ) 称为一元二次方程的一般形式，其中 ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项， a，b分别称为二次项系数和一次项系数.
针对训练
1. 根据题意列出一元二次方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长.
2.把方程( 3x + 2 )2 = 4 ( x - 3 )2 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2
解：9x2 + 12x + 4 = 4( x2 - 6x + 9)
9x2 + 12x + 4 = 4x2 - 24x + 36
5x2 + 36x - 32 = 0
二次项系数：5
一次项系数：36
常数项：-32
还有其他方法吗？
你能设法估计问题一中四周未铺地毯部分的宽度 x (m) 吗？
我们知道，x 满足方程 ( 8 - 2x )( 5 - 2x ) = 18.
(1) x 可能小于 0 吗？可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说你的理由.
(2) 你能确定 x 的大致范围吗？
思考
x 小于 0 时，( 8 - 2x ) > 8，( 5 - 2x ) > 5，( 8 - 2x )( 5 - 2x ) > 40. 故不可能.
x 大于 4 时，( 8 - 2x )小于0，不符合实际，
x 大于 2.5 时， ( 5 - 2x ) 小于0，不符合实际.
0 < x < 2.5.
(3) 填写下表：
(4) 你知道所求宽度 x (m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流.
x 0.5 1 1.5 2.5
(8 - 2x)(5 - 2x)
28
18
10
0
x = 1
问题三中，梯子底端滑动的距离 x (m) 满足方程 ( x + 6 )2 + 72 = 102，也就是 x2 + 12x - 15 = 0.
(1) 小明认为底端也滑动了 1m，他的说法正确吗？为什么？
(2) 底端滑动的距离可能是 2m 吗？可能是 3m 吗？为什么？
不正确，1 + 12 - 15 = -2.
距离是 2m 不可能，4 + 24 - 15 = 13.
距离是 3m 不满足方程，不是方程的解
小亮把他的求解过程整理如下:
x 0 0.5 1 1.5 2
x2 + 12 x - 15 -15 -8.75 -2 5.25 13
所以 1 < x <1.5，
进一步计算：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2 + 12 x - 15 -0.59 0.84 2.29 3.76
所以 1.1 < x <1.2 .
针对训练
五个连续整数，前三个数的平方和等于后面两个数的平方和. 你能求出五个整数分别是多少吗？
解：设第一个数为 x，则可列出方程
x2 + (x+1)2 + (x+2)2 = (x+3)2 + (x+4)2.
化简可得 x2 + x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 = x2 + 6x + 9 + x2 + 8x + 16，
即 x2 - 8x - 20 = 0.
列表：
x -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
x2 - 8x - 20 28 0 -20 -32 -36 -32 -20 0 28
解出 x = -2 或 10，这五个数分别是 -2, -1, 0, 1, 2 或者 10, 11, 12, 13, 14 .
课堂小结
一元二次方程
概念
是整式方程；
只含一个未知数；
最高次数是2.
一般形式
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
解一元二次方程
（“两边夹”方法）
确定其解的大致范围
列表、计算
进行两边“夹逼”
……
求得近似解
估计一元二次方程的解，应先确定方程解的大致范围，然后在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把一个值代入方程使得左边的计算结果小于右边的计算结果，把另一个值代入方程使得左边的计算结果大于右边的计算结果，那么方程的解就在这两个值之间．