2.3.1 用公式法求解一元二次方程 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
2.3.1 用公式法求解一元二次方程
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解求根公式和根的判别式.
2. 能用公式法解数字系数的一元二次方程.
3. 不解方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程的根的情况.
学习目标
1. 用配方法解一元二次方程
新课引入
(1) 2x2 + 3 = 7x
(2) 3x2 + 2x + 1 = 0
解：化简得 x2 - x = -
x2 - x + = - +
( x - )2 =
x - = ±
x1 = 3，x2 =
解：化简得 x2 + x = -
x2 + x + = - +
( x + )2 = -
则方程无解.
2. 用配方法解方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的. 因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便便捷得多.
你能用配方法解方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 吗？
用配方法解方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )：
对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )，
∵二次项系数 a ≠ 0，
∴方程两边同除以 a ，得
配方，得
，
，
新知学习
用配方法解方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
移项得
∵ a ≠ 0，
∴ 4a2 > 0.
当 b2 - 4ac > 0 时， ；
当 b2 - 4ac = 0 时， ；
当 b2 - 4ac < 0 时， ；
当 b2 - 4ac > 0 时，则
，
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x1 = ，x2 =
探究
当 b2 - 4ac = 0 时，则 ，即 .
∴方程有两个相等的实数根.
即 .
探究
当 b2 - 4ac < 0 时，则 ，即 .
∴x 取任何实数都不能使上式成立.
因此，方程无实根.
探究
这就是说，对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )，当 b2 - 4ac ≥ 0时，它的根是
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
归纳
例1 解方程：
(1) x2 - 7x - 18 = 0；
解: (1) 这里 a = 1，b = -7，c = -18.
∵ b2 - 4ac = ( -7 )2 - 4 × 1 × ( -18 ) = 121 > 0，
∴ ，
即 x1 = 9，x2 = -2.
(2) 4x2 + 1 = 4x ；
解 : (2) 将原方程化为一般形式，得
4x2 - 4x + 1 = 0.
这里 a = 4，b = -4，c = 1.
∵ b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4 × 4 × 1 = 0，
∴ ，
即 x1 = x2 = .
b2-4ac 的值对方程的根的情况有何影响？
用公式法求解一元二次方程一般步骤
1. 化：一般形式；
2. 定：确定 a、b、c 的值；
3. 算：计算 b2 - 4ac 的值；
4. 判：判断 Δ = b2 - 4ac 与 0 的大小；
5. 解：由求根公式求出方程的根.
归纳
思考
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的根是由哪些因素决定的？
提示：回顾一元二次方程求根公式的探究过程
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的根的情况可由 b2 - 4ac 来判定.
归纳
一元二次方程的根的情况可由 b2 - 4ac 来判定，我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示.
对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )，
当 b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 b2 - 4ac < 0 时，方程没有实数根.
例2 不解方程，判断下列方程根的情况
(1) 2x2 + 5 = 7x
解：将方程化为一般形式，得 2x2 - 7x + 5 = 0，
这里 a = 2，b = -7，c = 5.
∵Δ = b2 - 4ac = ( -7 )2 - 4 × 2 × 5 = 9 > 0，
∴方程有两个不相等的实数根.
(2) 4( y2 + 0.09 ) = 2.4y
解：将方程化为一般形式，得 4y2 - 2.4y + 0.36 = 0，
这里 a = 4，b = -2.4，c = 0.36.
∵Δ = b2 - 4ac = ( -2.4 )2 - 4 × 4 × 0.36 = 0
∴方程有两个相等的实数根
(3) 4x( x - 1 ) + 3 = 0
解：将方程化为一般形式，得 4x2 - 4x + 3 = 0，
这里 a = 4，b = -4，c = 3.
∵Δ = b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4 × 4 × 3 = -32 < 0，
∴方程没有实数根
解：(1) 这里 a = 2，b = -9，c = 8.
∵ b2 - 4ac = ( -9 )2 - 4 × 2 × 8 = 17，
∴ ，
即 x1 = ，x2 = .
1. 用公式法解下列方程：
(1) 2x2 - 9x + 8 = 0
针对训练
(2) 9x2 + 6x + 1 = 0
解：(2) 这里 a = 9，b = 6，c = 1.
∵ b2 - 4ac = 62 - 4 × 9 × 1 = 0，
∴ ，
即 x1 = x2 = .
(3) (x - 2)(3x - 5) = 1
解 : (3) 将原方程化为一般形式，得
3x2 - 11x + 9 = 0.
这里 a = 3，b = -11，c = 9.
∵ b2 - 4ac = ( -11 )2 - 4 × 3 × 9 = 13，
∴ ，
即 x1 = ，x2 = .
(4) x(x - 3) + 1 = 0
解：(4) 将原方程化为一般形式，得
x2 - 3x + 1 = 0.
这里 a = 1，b = -3，c = 1.
∵ b2 - 4ac = ( -3 )2 - 4 × 1 × 1 = 5，
∴ ，
即 x1 = ，x2 = .
2. 一个直角三角形三条边的长为三个连续的偶数，求这个三角形的三条边长.
解：设这个直角三角形中最短的边为 x.
根据勾股定理可得方程 x2 + ( x + 2 )2 = ( x + 4 )2.
化简可得 x2 - 4x - 12 = 0.
这里 a = 1，b = -4，c = -12.
∵ b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4 × 1 × ( -12 ) = 64，
∴
即 x1 = 6，x2 = -2.
又∵ x 为三角形的边长，
∴x = -2 不满足题意，即 x = 6，
则三角形的三条边分别为 6，8，10.
课堂小结
1. 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的求根公式是什么？
2. 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的根的情况怎样判别？
3. 用公式法解方程的过程中有哪些规律？
通过判别式Δ来判断
对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )，当 b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 b2 - 4ac < 0 时，方程没有实数根.
4. 用公式法求解一元二次方程一般步骤是什么？
(1) 化：一般形式
(2) 定：确定 a、b、c 的值
(3) 算：计算 b2 - 4ac 的值
(4) 判：判断 Δ = b2 - 4ac 与 0 的大小
(5) 解：由求根公式求出方程的根
分别用配方法和公式法解方程 2x2 + 3 = 7x，并比较两种方法的异同？
实践与拓展