2.5 一元二次方程的根与系数的关系(1) 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
2.5 一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
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1. 了解一元二次方程的根与系数的关系.
2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
学习目标
通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式. 除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？
新课引入
帮小唯唯想一想哦~
1. 一元二次方程的求根公式是什么？
2. 如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) ，
(1)b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
(2)b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；
(3)b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
解下列方程：
(1) x2 - 2x＋1 = 0；
(2) x2 - 2 x - 1 = 0；
(3) 2x2 - 3x +1 = 0.
新知学习
每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？
x1 = x2 = 1
，
(1) x1 + x2 = 2；x1 · x2 = 1.
(2) x1 + x2 = 2 ；x1 x2 = -1.
(3) x1 + x2 = ；x1 x2 = .
一 探索一元二次方程的根与系数的关系
(1) 1x2 - 2x＋1 = 0；
(2) 1x2 - 2 x - 1 = 0；
(3) 2x2 - 3x +1 = 0.
(1) x1 + x2 = 2 ； x1 x2 = 1 .
(2) x1 + x2 = 2 ； x1 x2 = -1 .
(3) x1 + x2 = ； x1 x2 = .
从特殊到一般
我们知道，一元二次方程 ax2+ bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 当 b2 - 4ac ≥ 0 时有两个根：
，
于是，两根之和为
x1 + x2 = + = = - .
x1·x2 = · =
= = .
方法二：把一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的两个根分别记为 x1，x2，则有
ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)，
即
ax2 + bx + c = ax2 - a(x1 + x2)x + ax1x2x，
比较两边系数可得
x1 + x2 = - ，x1x2 = .
如果方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 有两个实数根x1，x2，那么
x1 + x2 = - ，x1x2 = .
这一结论习惯上称为“韦达定理”. 韦达 (1540 — 1603) 是法国数学家.
二 一元二次方程的根与系数的关系的应用
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
(1) x2 + 7x + 6 = 0；
解：这里 a = 1，b = 7，c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
x1 + x2 = -7，x1x2 = 6.
(2) 2x2 - 3x - 2 = 0.
解：这里 a = 2，b = -3，c = -2.
Δ = b2 - 4ac = (- 3)2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1， x2，那么
x1 + x2 = ，x1 x2 = -1 .
针对训练
1. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
(1) x2 - 3x - 1 = 0；
解：这里 a = 1，b = -3，c = -1.
Δ = b2 - 4ac = (-3)2 – 4 × 1 × (-1) = 13 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
x1 + x2 = 3，x1x2 = -1.
(2) 3x2 + 2x - 5 = 0；
解：这里 a = 3，b = 2，c = -5.
Δ = b2 - 4ac = 32 – 4 × 3 × ( -5 ) = 69 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
x1 + x2 = ，x1x2 = .
2. 小明和小华分别求出了方程 9x2 + 6x - 1 = 0 的根.
小明：x1 = x2 = ；
小华：x1 = -3 + 3 ，x2 = -3 - 3
他们的答案吗？说说你的判断方法.
解：他们的答案不正确，因为小明求出的两根之积 x1x2 = ≠ ，
小华求出的两根之和 x1 + x2 = -6 ≠ .
韦达定理的逆否命题，
即：
如果有两个数 x1，x2 满足 x1 + x2 = ，x1x2 =
那么 x1 和 x2 是方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的两个根.
归纳
解：∵x1 + x2 = ，
∴ x1 + x2 = = ，
∵其中的一个根为 3，
∴另一个根： - 3 =
3. 已知方程 的一个根是 3，求它的另一个根.
4. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
5. 已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：(1) x1 + x2 = ，x1x2 = - .
解：另一个根为 ，k = -7.
6. 如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程 x2-17x+66 = 0 的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是 20 吗？为什么？
解：不可能，理由如下：
设方程的两个根为：x1x2，
∴x1 + x2 = = 17，
根据三角形的三边关系，第三边小于17，
∴第三条边不可能为 20.
课堂小结
1.请同学们概述根与系数的关系（韦达定理）.
如果一元二次方程 ax2+bx+c = 0 ( a ≠ 0 ) 的两个根分别是 x1、x2，
那么 x1 + x2 = - ，x1x2 = .
2. 这节课用到了什么数学思想和方法？
从特殊到一般；
观察、猜想、验证.