2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1） 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用(1)
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型.
2. 在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤，进一步提高分析问题、解决问题的能力.
学习目标
1. 还记得解决方程 ( 组 ) 实际问题的一般步骤吗？
新课引入
(1) 审：审题，明确题意；
(2) 设：用字母表示题目中的未知数；
(3) 找：找出等量关系；
(4) 列：根据等量关系列出一元二次方程；
(5) 解：求方程（组）的解；
(6) 检：检验解是否符合方程，是否符合实际；
(7) 答：写出答案并作答.
还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？
(1) 在这个问题中，梯子顶端下滑 1m 时，梯子底端滑动的距离大于 1m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？
你能找到等量关系吗？
分析：
① 梯子底端滑动的距离 = 梯子顶端滑动的距离
② 直角三角形的勾股定理
你能解决问题了吗？
解：(1) 设下滑距离为 x m，
则可列出方程
( 8 – x )2 + ( 6 + x )2 = 102，
解得 x1 = 0，x2 = 2.
(2) 如果梯子的长度是 13m，梯子顶端与地面的垂直距离为12m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？
(2) 设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动的距离和它相等，
根据题意，得
( 12 – x )2 + ( 5 + x )2 = 132，
解得 x1 = 0，x2 = 7.
例1 如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 n mile 处有一重要目标 B，在 B 的正东方向 200 n mile 处有一重要目标 C. 小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC 的中点，一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.
新知学习
已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？( 结果精确到 0.1 n mile )
你能找到等量关系吗？
②军舰的速度 = 补给船的速度×2
③军舰的时间 = 补给船的时间
军舰的路程 = 补给船的路程×2
①直角三角形的勾股定理
已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？( 结果精确到 0.1 n mile )
解：连接 DF.
∵AD = CD，BF = CF，∴DF 是△ABC 的中位线.
∴DF//AB，且 DF = AB.
∵AB⊥BC，AB = BC = 200 n mile，
∴DF⊥BC，DF = 100 nmile，BF = 100 n mile.
设相遇时补给船航行了 x n mile，那么
DE = x n mile，AB + BE = 2x n mile,
EF = AB + BF - (AB + BE) = ( 300 - 2x) n mile.
在 Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程
x2 = 1002 +(300- 2x)2，
整理，得 3x2 - 1200x + 100000 = 0.
解这个方程，得 x1 = 200 - ≈ 118.4，
x2 = 200 + ( 不合题意，舍去 ) .
所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile.
(1) 审：审题，明确题意；
(2) 设：用字母表示题目中的未知数；
(3) 找：找出等量关系；
(4) 列：根据等量关系列出一元二次方程；
(5) 解：求方程的解；
(6) 检：检验解是否符合方程，是否符合实际；
(7) 答：写出答案并作答.
归纳
解决一元二次方程实际问题的一般步骤：
1.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立、甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会. 问甲乙行各几何.”
大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3. 乙一直向东走，甲先向南走 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇. 那么相遇时，甲、乙各走了多远？
针对训练
乙
甲
甲
解：设所行时间为 t，则有 (3t)2 +102 = (7t-10)2，
解得 t1 = 0（舍去），t2 =.
∴甲走了 ×7 = （步），乙走了 ×3 = （步）.
2. 有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于 20，积等于96，多的一笔被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？
解：设一笔钱为 x，则另一笔钱为 20 - x.
由题可得 x ·( 20 – x ) = 96
整理：-x + 20x -96 = 0
解方程得：x1 = 8，x2 = 12.
∵ x1 < x2 ，
∴赛义德得到 12.
3. 如图，在 Rt△ACB 中，∠C = 90°，点 P，Q 同时由 A，B 两点出发分别沿 AC，BC 方向向点 C 匀速移动 ( 到点 C 为止 )，它们的速度都是 1m/s. 经过几秒△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半？
解：设时间为 t 秒，则 Rt△PCQ 两边 PC ，CQ 长分别为 (8 – t )米与 (6 – t )米.
由题可得 (8－t)(6－t)＝××6×8
整理：t – 14t + 48 = 24
解方程得：t1 = 2，t2 =12（舍去）.
则经过 2 秒时△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半.
4. 如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为 0.78m2，上口比渠底宽 0.6m，渠深比渠底少 0.4m，求渠深.
解：设渠底为 x m，则上口为 (x + 0.6) m，渠深为 (x – 0.4) m，
由题可得 ( x + 0.6 + x ) · ( x – 0.4) ÷ 2 = 0.78，
整理： x – 0.1x – 0.9 = 0
解方程得：x1 = 1，x2 = -0.9（舍去）.
则渠深为 1 – 0.4 = 0.6 m.
5. 如图，在 Rt△ACB 中，∠C = 90°；AC = 30cm，BC = 21 cm. 动点 P从点 C 出发，沿 CA 方向运动；动点 Q 同时从点 B 出发，沿 BC 方向运动，如果点 P，Q 的运动速度均为 1 cm/s，那么运动几秒时，它们相距 15 cm
解：设 x 秒时，P、Q 相距 15cm，
则有 x2 + ( 21 - x )2 = 152
整理：
x2 - 21x + 108 = 0
解得 x1 = 9，x2 = 12，
答：运动 9 秒或 12 秒时，P、Q 相距 15cm.
1. 列方程解应用题的三个重要环节：
(1) 审：整体、系统地弄清题意；
(2) 找：把握问题中的等量关系；
(3) 检：正确求解方程并检验解的合理性.
课堂小结
2. 这节课有什么数学思想：
实际问题
数学问题
转化
建模