4.4.2 用边角关系判定两三角形相似 课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
4.4.2 用边角关系判定两三角形相似
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 掌握相似三角形的判定定理 2；
2. 能熟练运用相似三角形的判定定理 2.
学习目标
如图，在△ABC 中，∠BAC = 90°， AD⊥BC，垂足为 D.
(1) 请指出图中所有的相似三角形；
(2) 你能得出 AD2 = BD·DC 吗？
新课引入
(1) △ABD∽△ACD∽△CBA；
(2) ∵△ABD∽△ACD，
∴ ，
即 AD2 = BD·DC
已知△ABC 与△A′B′C′，其中 ，这两个三角形一定相似吗？与同伴交流.
A
C
B
A′
C′
B′
不一定相似
新知学习
我认为两边成比例的两个三角形不一定相似.
如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？
我们先来考虑增加一角相等的情况.
探究
思考：增加一角相等的情况，可分为几种情况呢？
① 相等的角是其中一边的对角；
② 相等的角是两边的夹角.
1. 画△ABC 与△A′B′C′，使∠A =∠A′ = 60°， 和 都等于给定的值 k = 2 ( k > 0 ). 设法比较∠B 与∠B′ 的大小(或∠C 与∠C′ ). △ABC 和△A′B′C′ 相似吗？改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
A
C
B
A′
C′
B′
如图，在△ABC 与△A′B′C′ 中，已知∠A =∠A′ = 60°， = 2.
求证：△ABC ∽△A′B′C′.
B
A
C
B'
A'
C'
D
E
证明：
在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D，使 A′D = AB. 过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
∵DE∥B′C′，
∴△A′DE∽△A′B′C′.
∴ .
∵ A′D=AB， ，
∴ .
∴A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A.
∴△A′DE ≌△ABC ( SAS )，
∴△A′B′C′ ∽△ABC.
B
A
C
B'
A'
C'
D
E
判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
归纳
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
B
A
C
B'
A'
C'
如右图，在△ABC 与 △A′B′C′中
例1 如图，D，E 分别是△ABC 的边 AC，AB 上的点. AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长.
A
E
D
C
B
解：∵AE = 1.5，AC = 2，
∴
∵
∴
又∵ ∠EAD =∠CAB，
∴ △EAD∽△CAB ( 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ) .
∴
∵ BC = 3，∴
A
E
D
C
B
例2 如果△ABC 与△A′B′C′ 两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
小明和小颖分别画出如图所示的三角形，你能得到什么结论？
4 cm
3.2 cm
2 cm
1.6 cm
50°
50°
两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似.
温馨提示
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
例1 如图，A，B 两点被池塘隔开，为测量 A，B 两点间的距离，在池塘边任选一点 C，连接AC，BC，并延长 AC 到 D，使 CD = AC，延长 BC 到 E，使 CE = BC，连接 DE，如果测量 DE = 20 m，那么 AB=2×20=40 m. 你知道这是为什么吗？
A
E
B
C
D
证明：∵ CD = AC，CE = BC，∠ECD =∠BCA，
∴△CED∽△CBA.
∴ DE = AB.
∴ AB = 2DE = 2×20 = 40 m .
精讲点拨
例2 如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？
(1) 相似，因为两边成比例且夹角相等.
A
E
F
B
C
1
1
3
3
(1)
4
2.5
35°
5
35°
3.5
(2)
(2)
不相似，夹角相等但是两边不成比例.
针对训练
1. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
A
B
C
D
P
P
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，AP : AB = AD : AC ，
∴ AP : 12 = 6 : 8 ，解得 AP = 9；
当 △ADP ∽△ABC 时，AD : AB = AP : AC ，
∴6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4.
∴当 AP 的长度为 4 或 9 时，△ADP 和 △ABC 相似．
4 或 9
请同学们用自己的概括三角形相似判定定理 2 内容.
课堂小结
判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.