4.4.3 用三边关系判定两三角形相似 课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
4.4.3 用三边关系判定两三角形相似
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理.
2. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算.
学习目标
如图，每个小正方形边长均为 1，则下列图中的三角形 ( 阴影部分 ) 与右图中△ABC 相似的是 ( )
A
B
C
D
新课引入
B
你是通过什么方法判断的？
1
2
两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似.
已学到的三角形相似的条件有哪些？
1. 三角对应相等、三边对应成比例 ( 定义 )；
2. 两角对应相等；
3. 两边对应成比例及夹角相等.
类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
新知学习
画△ABC 与△A′B′C′，使 ， 和 . 都等于给定的值 k ( k > 0 ) . 设法比较∠A 与∠A′ 的大小. △ABC 与 △A′B′C′ 相似吗？说说你的理由.
A
B
C
C′
B′
A′
通过对比不难发现∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′.
A
B
C
C′
B′
A′
下面我们用前面所学得定理证明该结论.
证明：在线段 AB ( 或延长线 ) 上截取 AD = A′B′，
过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E.
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC.
∴
又∵ ，AD = A′B′，
∴ ， . ∴DE = B′C′，EA = C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′ ( SSS ).
∴△A′B′C′ ∽△ABC.
C′
B′
A′
B
C
A
D
E
符号语言：
如图，在△ ABC ∽ △A′B′C′中
∵ ，
∴△ ABC ∽ △A′B′C′.
归纳
判定定理 3：三边成比例的两个三角形相似.
例1 如图，在△ABC 和 △ADE 中， ，∠BAD = 20°， 求 ∠CAE 的度数.
解：∵ ，
∴△ABC∽△ADE ( 三边成比例的两个三角形相似 ).
∴∠BAC =∠DAE.
∴∠BAC –∠DAC =∠DAE –∠DAC，
即 ∠BAD =∠CAE.
∵ ∠BAD = 20°，
∴ ∠CAE = 20°.
例2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由.
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，
在 △ DEF 中，DE > EF > FD.
∵ ， ， ，
∴ .
∴ △ABC ∽ △DEF.
温馨提示
判定三角形相似的方法之一：
如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
思考
如图，△ABC与△A'B'C'相似吗？你有哪些判断方法？
法一：两角.
法二：两边一角.
法三：三边.
∠A =∠A'，∠B =∠B'
∠A =∠A'，∠B =∠B'
针对训练
1. 如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角 ( 对顶角除外 )，并说明你的理由.
A
B
C
D
E
解：在 △ABC 和 △ADE 中，∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE，
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E.
∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ，∴∠BAD=∠CAE.
故图中相等的角有
∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，
∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.
2. 如图，在大小为 4 × 4 的正方形网格中，是相似三角形的是 ( )
①
②
③
④
A. ①和② B. ②和③
C. ①和③ D. ②和④
C
3. 如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD，下列结论正确的是 ( )
A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA
C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
解析：设 AP = PB = BC = CD = 1，
∵∠APD = 90°，∴AB = ，AC = ，AD= .
∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC，
∴△ABC∽△DBA，故选 C.
A
C
B
P
D
C
相似三角形的判定定理共有几个？分别是什么？
课堂小结
共有三个，分别是：
1. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
2. 两角分别相等的两个三角形相似；
3. 三边成比例的两个三角形相似.