4.4.4 黄金分割 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
4.4.4 黄金分割
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比；
2. 能对黄金分割进行简单运用.
学习目标
新课引入
通过观察，你觉得下面那副图最有美感？
事物之间的和谐关系可以表现为某种恰当的比例关系！
一个五角星如图所示.
(1) 从图中找出相等的角、相等的线段.
(2) 在图中找出两对相似比不同的相似三角形.
新知学习
(1) ①∠A =∠K =∠B =∠G =∠E =∠LDC =∠LCD ，
②∠EDF =∠EFD =∠GFH =∠GHF =∠BHC =∠BCH =∠KCL =∠KLC =∠ALD =∠ADL =∠GDC =∠GCD，
③ LD = DF = FH = HC = CL；AD = EF = GH = BC = KL
(2) △GFH = △GDC，△LDC =△LEB.
小亮认为， . 你同意他的看法吗？说说你的理由.
解：∵△ACD∽△ABF，
∴ ，
∵AD = BC，AF = AC，
∴
一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ( 如图 )，如果 ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比.
一条线段有几个黄金分割点？
归纳
2个
例1 计算黄金比.
解：由 ，得 AC2 = AB · BC.
设 AB = 1，AC = x，则 BC = 1 – x .
∴x2 = 1×( 1 – x )，
即 x2 + x – 1 = 0.
解这个方程，得
( 不合题意，舍去 ).
所以，黄金比 .
上图是古希腊时期的巴台农神庙，如果把左图中用虚线表示的矩形画成右图中的矩形 ABCD，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD，那么我们可以惊奇地发现， 点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？
思考
由 ，可得 ，即 ，因此点 E 是 AB 的黄金分割点.
( 即 ) 是黄金比，也就是说矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比.
例2 采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设 AB 是已知线段，过点 B 作 BD⊥AB，使 ；连接 AD，在 AD 上截取 DE = DB；在 AB 上截取 AC = AE . 点 C 就是线段 AB 的黄金分割点. 你能说出其中的道理吗？
A
B
D
E
C
设 AB = 1，则 BD = .
由勾股定理得 AD = = ，
∴ AC = AE = ，从而点 C 是 AB 的黄金分割点.
A
B
D
E
C
1. 在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近 0.618 越给人以美感. 小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60，她的身高为 1.60 m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
针对训练
解：设肚脐到脚底的距离为 x m，
根据题意，得 ，解得 x = 0.96.
设穿上 y m 高的高跟鞋看起来会更美，则
解得 y ≈ 0.075，而 0.075m = 7.5 cm.
故她应该穿约为 7.5 cm 高的高跟鞋看起来会更美.
2. 如图：在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 36°， BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，求证：D 是 AC 的黄金分割点.
证明：在等腰△ABC 中，顶角∠A = 36°，
所以∠ABC =∠C = 72°，
∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD =∠DBC = 36°，
在△ACB 和△BCD 中，∠BDC = 72°，
∵∠C =∠C，∠A =∠CBD = 36°，∴△ACB∽△BCD，
∴AC : BC = BC : DC；
A
B
D
C
∵∠A =∠ABD，
∴AD = BD.
∵∠DBC = 36°，∠C = 72°，
∴∠BDC = 72°，
∴BD = BC，
∴AD = BC，
∴AC : AD = AD : DC；
即点 D 是 AC 的黄金分割点．
A
B
D
C
3. 如图，设 AB 是已知线段，在 AB 上作正方形 ABCD；取 AD 的中点 E，连接 EB；延长 DA 至 F，使 EF = EB；以线段 AF 为边作正方形AFGH. 点 H 就是 AB 的黄金分割点. 你能说出这种作法的道理吗？
证明：设 AB = 1，那么在 Rt△BAE 中，
，
于是 EF = BE = ，
AH = AF = BE - AE = = .
BH = AB - AH = = .
因此 = ，点 H 就是 AB 的黄金分割点.
1. 什么叫做黄金分割？黄金比是多少？
2. 一条线段有几个黄金分割点？
课堂小结
一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，如果 ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比.
2个
3. 如何用尺规作线段的黄金分割点和黄金矩形？
设 AB 是已知线段，过点 B 作 BD⊥AB，使 ；连接 AD，在 AD 上截取 DE = DB；在 AB 上截取 AC = AE . 点 C 就是线段 AB 的黄金分割点.
4.黄金分割有关的值.
较长
最短
最长