4.5 相似三角形判定定理的证明 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
4.5 相似三角形判定定理的证明
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 会证明相似三角形判定定理；
2. 运用相似三角形的判定定理解决相关问题.
学习目标
1. 判定两个三角形全等的方法有哪些？
2. 判定两个三角形相似的方法有哪些？
新课引入
(1) SSS；(2) SAS；(3) AAS；(4) ASA；(5) HL
(1) 两角分别相等的两个三角形相似；
(2) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
(3) 三边成比例的两个三角形相似.
如何对三角形相似的三条定理进行证明？
新知学习
命题 1 两角分别相等的两个三角形相似.
命题 2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
命题 3 三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC 和△A′B′C′ 中，∠A =∠A′，∠B =∠B′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
命题 1 两角分别相等的两个三角形相似.
C′
A
B
C
A′
B′
D
E
证明：在△ABC 的边 AB ( 或它的延长线 ) 上截取 AD = A′B′，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，
则∠ADE =∠B， ∠AED =∠C，
( 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 ).
过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 F，
则 ( 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 ).
∴ .
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形 DFCE 是平行四边形.
∴DE = CF.
∴ .
A
B
C
D
E
C′
A′
B′
F
∴ .
而∠ADE =∠B，∠DAE =∠BAC，∠AED =∠C，
∴△ADE ∽△ABC.
∵∠A =∠A′，∠ADE =∠B =∠B′，AD = A′B′，
∴△ADE ≌△A′B′C′.
∴△ABC ∽△A′B′C′.
A
B
C
D
E
C′
A′
B′
F
命题 2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC 和△A′B′C′ 中，∠A =∠A′， .
求证：△ABC∽△A′B′C′.
C′
A
B
C
A′
B′
D
E
证明：在△ABC 的边 AB ( 或它的延长线 ) 上截取 AD = A′B′，
过 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，
则∠ADE =∠B， ∠AED =∠C，
∴ △ADE ∽△ABC ( 两角分别相等的两个三角形相似 ).
∴ .
∵ ，AD =A′B′，
∴
∴
∴ AE = A′C′.
而 ∠A =∠A′，
∴ △ADE ≌△A′B′C′.
∴ △ABC∽△A′B′C′.
C′
A
B
C
A′
B′
D
E
命题 3 三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC 和△A′B′C′ 中， .
求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：在 △ABC 的边 AB，AC ( 或它们的延长线) 上分别截取 AD = A′B′，AE = A′C′，连接 DE.
∵ ，AD = A′B′，AE = A′C′，
∴
C′
A
B
C
A′
B′
D
E
而∠BAC =∠DAE，
∴△ADE∽△ABC ( 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ).
∴ .
又 ，AD=A′B′，
∴
∴
∴DE=B′C′.
A
B
C
A′
B′
D
E
C′
∴△ADE ≌△A′B′C′.
∴△ABC ∽△A′B′C′.
1. 判断题：
(1) 所有的等边三角形都相似. ( )
(2) 所有的直角三角形都相似. ( )
(3) 所有的等腰三角形都相似. ( )
(4) 所有的等腰直角三角形都相似. ( )
针对训练
√
×
×
√
2. 如图，AD⊥BC 于点 D， CE⊥AB 于点 E ，且交 AD 于点 F，你能从中找出几对相似三角形？
B
C
A
E
D
F
B
C
A
E
D
F
B
C
E
D
F
B
A
E
D
F
B
C
A
E
D
F
D
C
F
E
A
3. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠B =∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，求 AD 的长.
解：∵ AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = .
∴ .
又∠B =∠ACD，
∴△ABC ∽△DCA，
∴ .
∴AD = .
A
B
C
D
课堂小结
相似三角形判定
定理的证明
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
定理的运用
定理证明
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
实践与拓展
材料阅读：如图，圆 O 上有四个点 A，B，C，D，同一条弧所对的圆周角相等；例如：圆上短弧 AD 所对的圆周角∠C = 圆周角∠B.
解决问题：如图，弦 AB 和 CD 相交于⊙O 内一点 P.
求证：PA·PB = PC·PD.
证明：∵∠CAP 与∠CDB 都是 所对的圆周角，∠ACD 与∠ABD 都是 所对的圆周角，
∴∠CAP =∠CDB， ∠ACD =∠ABD.
∴△PAC ∽△PDB.
∴ .
即 PA·PB = PC·PD.