4.7.1 相似三角形中对应线段的性质 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
4.7.1 相似三角形中对应线段的性质
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
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4
1. 明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.
2. 能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．
学习目标
新课引入
还记得相似多边形的对应边、对应角有什么关系吗？
相似三角形的对应边成比例、对应角相等.
在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？
如图，小王依据图纸上的△ABC，以 1:2 的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD 和 C′D′ 分别是它们的立柱.
(1) △ACD 与△A′C′D′ 相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.
新知学习
解：(1) △ACD 与△A′C′D′ 相似. 理由是∠A =∠A′，∠ADC =∠A′D′C′. 相似比是 1:2.
如图，小王依据图纸上的△ABC，以 1:2 的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD 和 C′D′ 分别是它们的立柱.
(2) 如果 CD = 1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
解：(2) 由 CD:C′D′ = 1:2，得 C′D′ = 2CD = 3 cm，即模型房的房梁立柱高 3 cm.
如图，已知△ABC∽△A′B′C′， △ABC 与△A′B′C′ 相似比为 k ( k > 0 )，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′；AE 平分∠BAC，A′E′ 平分∠B′A′C′；F，F′ 分别为 BC，B′C′ 的中点. 试探究 AD 与 A′D′ 的比值关系，AE 与 A′E′ 呢？AF 与 A′F′ 呢？
A
B
C
D
E
A′
B′
C′
D′
E′
F
F′
定理：相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比.
归纳
A
B
C
D
E
A′
B′
C′
D′
E′
F
F′
符号语言：
∵△ABC∽△A′B′C′，
且AD⊥BC ，A′D′⊥B′C′ ；
∴AD : A′D′ = k.
A
B
C
D
E
A′
B′
C′
D′
E′
F
F′
符号语言：
∵△ABC∽△A′B′C′，
且∠BAE =∠EAC，∠B′A′E′ =∠E′A′C′，
∴AE : A′E′ = k.
符号语言：
∵△ABC∽△A′B′C′，
且 BF = FC，B′F′ = F′C′，
∴AF : A′F′ = k.
温馨提示
这些结论以后在解决问题过程中能作为定理直接用.
如图，已知△ABC∽△A′B′C′ ，△ABC 与△A′B′C′ 的相似比为 k( k >0 )， 点 D，E 在 BC 边上，点 D′，E′ 在 B′C′ 边上 .
(1) 若∠BAD = ∠BAC，∠B′A′D′ = ∠B′A′C′，则 等于多少？
解：由“两角分别相等的两个三角形相似”，可知△ABD∽△A′B′D′，于是 = = k ( k > 0 ).
拓展迁移
如图，已知△ABC∽△A′B′C′ ，△ABC 与△A′B′C′ 的相似比为 k( k >0 )， 点 D，E 在 BC 边上，点 D′，E′ 在 B′C′ 边上 .
(2) 若 BE = BC ， B′E′ = B′C′ ，则 等于多少？
解：由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可知△ABE∽△A′B′E′，于是 = = k ( k > 0 ).
例 如图，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
(1) △ASR 与△ABC 相似吗？为什么？
A
B
C
S
R
E
P
D
Q
解：△ASR∽△ABC；理由如下：
∵四边形 PQRS 是正方形，
∴RS∥BC.
∴∠ASR =∠B，∠ARS =∠C.
∴△ASR∽△ABC.
例 如图，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
(2) 求正方形 PQRS 的边长.
解：∵△ASR∽△ABC，
∴ = ,
设正方形 PQRS 的边长为 x cm，则 AE = ( 40 – x ) cm，
∴ . 解得 x = 24 .
答：正方形 PQRS 的边长为 24 cm.
A
B
C
S
R
E
P
D
Q
1. 若△ABC ∽△A'B'C'，AD、A'D' 分别是△ABC、△A'B'C' 的高，AD:A'D' = 3:4，△A'B'C' 的一条中线 B'E' = 16 cm，则△ABC 的中线 BE = ________cm.
针对训练
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2. 两个相似三角形的一组对应角平分线的长分别是 2 cm 和 5 cm，求这两个三角形的相似比. 在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是 3 cm，那么较长的中线多长？
解：∵这两个三角形的相似比是 2 : 5，较短的中线是 3 cm，
∴较长的中线为 3 × = 7.5 cm.
3. 已知△ABC∽△DEF，BG、EH 分△ABC 和△DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4 cm，BG = 4.8 cm. 求 EH 的长.
A
G
B
C
D
E
F
H
解：∵ △ABC∽△DEF，
∴ ，
∴ ，
解得 EH ＝ 3.2 ( cm ).
答：EH 的长为 3.2 cm.
课堂小结
相似三角形的性质
相似三角形对应高的比等于相似比
相似三角形对应角平分线的比等于相似比
相似三角形对应中线的比等于相似比
一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长为 1.5 m，面积为 1.5 m2，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，请同学们设计加工方法.
A
B
C
实践与拓展