4.7.2 相似三角形的周长比、面积比的性质 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
4.7.2 相似三角形的周长比、面积比的性质
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.
学习目标
我们知道，如果两个三角形相似，它们对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？
新课引入
如图，小王依据图纸上的△ABC，以 1:2 的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD 和 C′D′ 分别是它们的立柱.
(1) △ABC 与△A′B′C′ 相似比是 .
(2) 如果△ABC 的周长是 9cm，那么△A′B′C′ 的周长是 .
(3) 如果 S△ABC = 3cm2，那么△A′B′C′ 的面积是 .
问题思考：


我们发现，还不能有相似比确定相似三角形的周长比与面积比，这节课我们就来探究一下.
例1 已知：如图，△ABC∽△A'B'C' ，相似比为 2.
(1) 请你写出图中所有成比例的线段；
新知学习
解：(1) = = = 2 .
C
A
B
C′
A′
B′
(2) △ABC 与△A'B'C' 的周长比是多少？面积比呢？
解：(2) ∵ = = = 2 ，
∴ = = 2，即△ABC 与△A'B'C' 的周长比为 2.
分别过点 C 与 C′ 作△ABC 和△A′B′C′ 的高 CD，C′D′，
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴ = = 2 .
∴ = 2×2 = 4.
C
A
B
C′
A′
B′
D
D′
由已知，得 = = = k，
∴ = = k.
分别过点 C 与 C′ 作△ABC 和△A′B′C′ 的高 CD，C′D′.
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴ = = k ( 相似三角形对应高的比等于相似比 ).
∴ = k2.
(3) 若相似比为 k ( k > 0 )，你能求 △ABC 与△A′B′C′ 的周长比和面积比吗？
C
A
B
C′
A′
B′
D
D′
归纳
定理：相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
如果是四边形呢？你能通过类比得出四边形的结论吗？
例2 如图，四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，相似比为 k ( k > 0 ).
(1) 四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的周长比是多少？
A
B
D
C
A′
B′
D′
C′
解：(1) ∵四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，
∴ = = = = k .
∴ = k .
即四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的周长比是 k .
例2 如图，四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，相似比为 k ( k > 0 ).
(2) 连接相应的对角线 BD，B′D′，所得的△BCD 与△B′C′D′ 相似吗？如果相似，它们的相似比各是多少？为什么？
A
B
D
C
A′
B′
D′
C′
解：(2) ∵四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，
∴ = = k .
∴△BCD 与△B′C′D′ 各边均成比例 .
∴△BCD ∽△B′C′D′.
例2 如图，四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，相似比为 k ( k > 0 ).
(3) 设△ABD，△A′B′D′，△BCD，△B′C′D′ 的面积分别是 S△ABD，S△A′B′D′，S△BCD，S△B′C′D′，则 ， 各是多少？
A
B
D
C
A′
B′
D′
C′
解：(3) ∵△ABD∽△A′B′D′，△BCD∽△A′B′D′，且相似比都为 k.
∴ 与 都是 k2.
例2 如图，四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，相似比为 k ( k > 0 ).
(4) 四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的面积比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？
A
B
D
C
A′
B′
D′
C′
解：(4) ∵ 与 都是 k2，
又∵S四边形 ABCD = S△ABD + S△BCD，
S四边形 A′B′C′D′ = S△A′B′D′ + S△B′C′D′ ，
即四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的面积比为 k2.
换成五边形，结论一样.
例3 如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DEF，△ABC 与△DEF 重叠部分 ( 图中阴影部分 ) 的面积是△ABC 的面积的一半. 已知 BC = 2，求△ABC 平移的距离.
D
E
F
G
A
B
C
解：根据题意，可知EG∥AB.
∴∠GEC =∠B，∠EGC =∠A.
∴△GEC∽△ABC ( 两角分别相等的两个三角形相似 )，
∴ = ( 相似三角形的面积比等于相似比的平方 )，
即 = .
∴EC2 = 2，∴EC = ( 负值舍去 ).
∴BE = BC – EC = 2 – ，
即 △ABC 平移的距离为 2 – .
D
E
F
G
A
B
C
温馨提示
相似多边形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
如图，小王依据图纸上的△ABC，以 1:2 的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD 和 C′D′ 分别是它们的立柱.
(1) △ABC 与△A′B′C′ 相似比是 .
(2) 如果△ABC 的周长是 9cm，那么△A′B′C′ 的周长是 .
(3) 如果 S△ABC = 3cm2，那么△A′B′C′ 的面积是 .
问题回顾：
18 cm
12 cm2
针对训练
1. 判断正误：
(1) 如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的 10 倍，那么它的周长也扩大为原来的 10 倍. ( )
(2) 如果把一个三角形的面积扩大为原来的 9 倍，那么它的三边的长都扩大为原来的 9 倍 . ( )
√
×
2. 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为 100 cm2，且 = = ，求四边形 BCDE 的面积.
B
C
A
D
E
解：∵∠BAC = ∠DAE，且 = = ，
∴△ADE ∽△ABC.
∵它们的相似比为 3:5，
∴面积比为 9:25.
课堂小结
相似三角形的性质2
相似三角形周长之比等于相似比
相似三角形面积之比等于相似比的平方
强调：以上结论，相似多边形也成立.
附加：如图， 在△ABC 中， 点 D，E 分别在边 AB 和 AC 上，且 DE//BC.
(1) 若 AD : DB = 1:1，则S△ADE : S四边形DBCE = .
(2) 若 S△ADE = S四边形DBCE，则 DE : BC = ，AD : DB = .
实践与拓展
解：(1)∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∵AD : DB = 1:1，
∴S△ADE : S△ABC = 1:4，
∴S△ADE ：S四边形DBCE = 1:3.
1:3
附加：如图， 在△ABC 中， 点 D，E 分别在边 AB 和 AC 上，且 DE//BC.
(1) 若 AD : DB = 1:1，则S△ADE : S四边形DBCE = .
(2) 若 S△ADE = S四边形DBCE，则 DE : BC = ，AD : DB = .
1:3
实践与拓展
解：(2)∵S△ADE = S四边形DBCE，
∴ S△ADE : S△ABC = 1:2，
则△ADE 与△ABC 的相似比为 = ，
∴DE : BC = ，AD : DB = .