北师大版数学七年级上册 5.3　应用一元一次方程——水箱变高了典型例题 教案

3　应用一元一次方程——水箱变高了
典型例题
题型一　列一元一次方程解等长问题
例1　一块长方形草坪的长比宽多10 m，它的周长是132 m，求宽.设宽为x m，下面所列方程正确的是（ ）
A.x+10＝132 B.2x+10＝132
C.2x+2（x+10）＝132 D.2x+2（x-10）＝132
解析：因为宽为 x m，所以长为（x+10）m.又因为周长是132 m，所以2x+2（x+10）＝132.
答案：C
例2　一根铁丝恰好可围成一个边长为9厘米的正方形，若用这根铁丝围成长比宽多2厘米的长方形，则长方形的面积是多少？
分析：由正方形的周长公式求得这根铁丝的长度是36厘米.设该长方形的宽为x厘米，则其长为（x+2）厘米.列方程分别求出长方形的长与宽之后，根据矩形面积公式进行解答.
解：设长方形的宽为x厘米，则长为（x+2）厘米，
根据题意，得2（x+x+2）＝36，
解得x＝8，所以x+2＝10，则8×10＝80（平方厘米）.
因此，长方形的面积是80平方厘米.
例3　一个长方形的周长是18 cm，若这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm，就可以成为一个正方形，则此正方形的边长是（　　）
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
解析：设正方形的边长为x cm，
则长方形的长为（x+1）cm，长方形的宽为（x-2）cm.
根据题意，得2×［（x+1）+（x-2）］＝18，
解得x＝5.故选A.
答案：A
例4　 如图5-3-1所示，地面上钉着用一根彩绳围成的直角三角形，如果将直角三角形一个锐角顶点处的钉子去掉，并将这根彩绳钉成一个长方形，则所钉成的长方形的长、宽各是多少？面积是多少？
思路分析：
(
图
5
-
3
-
1
)
解：设长方形的一边长为x，分两种情况：
当去掉顶点A处的钉子时，如图5-3-2所示，6+8+10＝6×2+2x，解得x＝6，
所以长方形的长为6（即正方形），宽为6，S1＝6×6＝36.
图5-3-2 图5-3-3
当去掉顶点B处的钉子时，如图5-3-3所示，6+8+10＝8×2+2x，解得x＝4，
所以长方形的长为8，宽为4，S2＝8×4＝32.
答：所钉成的长方形的长为6，宽为6，面积为36；或长为8，宽为4，面积为32.
点拨：抓住彩绳的长度不变，即三角形的周长等于长方形的周长这个等量关系是解本题的关键.
题型二 列一元一次方程解面积问题
例5　把一块梯形空地（如图5-3-4所示）改成宽为30 m的长方形运动场地，要求面积不变，则应对原梯形的上、下底边做怎样的调整？
分析：题目中的等量关系：梯形的面积＝长方形的面积.本题宜采用间接设未知数法.
(
图
5
-
3
-
4
)解法一：设改成后的长方形的长为x m，
则30x＝（30+60）×30÷2，解得x＝45.
解法二：设将下底边缩短x m，则长方形的长是（60-x）m，
由题意得30（60-x）＝（30+60）×30÷2，
解得x＝15，所以60-x＝45.
答：将原梯形的下底边由60 m缩小到45 m，将上底边由30 m扩大到45 m.
例6　用两根等长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2（π-2）m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明围成的正方形和圆哪个面积大.
分析：依据正方形和圆的周长相等求出铁丝的长，分别计算出正方形和圆的面积，比较可得.
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为［r+2（π-2）］m.
根据题意，得2πr＝4［r+2（π-2）］，解得r＝4，
所以铁丝的长为2πr＝8π（m），
所以圆的面积是π×42＝16π（m2），
正方形的面积为［4+2（π-2）］2＝4π2（m2），
因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，所以圆的面积大.
答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大.
例7　王老师购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，其结构如图5-3-5所示.根据图中的数据（单位：m），解答下列问题.
（1）用含x的代数式表示地面总面积.
（2）已知客厅面积比厨房面积多12 m2.若铺1 m2地砖的平均费用为100元，那么铺地砖的总费用为多少元？
(
图
5
-
3
-
5
)解：（1）由题意，可得地面的总面积为
6x++2（6-x）+×x＝m2.
（2）由题意，得6x-2（6-x）＝12，解得x＝3，
则地面总面积为×32+7×3+12＝39（m2）.
因为铺1 m2地砖的平均费用为100元，
所以铺地砖的总费用为39×100＝3 900（元）.
例8　如图5-3-6所示，长为50 cm，宽为x cm的大长方形被分割为8小块，除阴影A，B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形， (
图
5
-
3
-
6
)其短边长为a cm.
（1）从图5-3-6可知，每个小长方形的长边为　　　　cm（用含a的代数式表示）.
（2）求图中两块阴影A，B的周长和（用含x的代数式表示）.
（3）分别用含x，a的代数式表示阴影A，B的面积，并求a为何值时，两块阴影部分的面积相等？
分析：（1）观察题图可知，每个小长方形的长边＝大长方形的长-小长方形宽的3倍；
（2）由图5-3-6可知，A的长+B的宽＝x cm，A的宽+B的长＝x cm，由此可求出两块阴影A，B的周长和；
（3）根据“长方形的面积＝长×宽”即可分别表示出阴影A，B的面积，再令A的面积＝B的面积，即可求出a的值.
解：（1）50-3a
（2）因为A的长+B的宽＝x cm，A的宽+B的长＝x cm，
所以A，B的周长和＝2（A的长+A的宽）+2（B的长+B的宽）
＝2（A的长+B的宽）+2（B的长+A的宽）
＝2x+2x＝4x cm.
（3）A的面积＝(50-3a)×(x-3a)cm2，B的面积＝3a(x-50+3a) cm2.
当（50-3a）×（x-3a）＝3a（x-50+3a）时，解得a＝.
故当a＝时，两块阴影部分的面积相等.
点拨：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件找出合适的等量关系，再列方程求解.
题型三 列一元一次方程解容（体）积问题
例9　一个棱长为8 cm的正方体玻璃容器里有6 cm高的纯净水，把它全部倒入底面积为40 cm2、高为12 cm的圆柱形容器里，这时水面高为多少厘米？
分析：倒入圆柱形容器前、后水的体积不变，据此列方程求解.
解：设这时水面高为x cm.根据题意，得8×8×6＝40x，解这个方程，得x＝9.6.
答：这时水面高为9.6 cm.
例10　某种钢锭的截面是正方形，其边长是20 cm，要锻造成长、宽、高分别为40 cm，30 cm，10 cm的长方体，则应截取这种钢锭多长？
解：设应截取这种钢锭x cm，由题意，得202x＝40×30×10，解得x＝30.
答：应截取这种钢锭30 cm长.
例11　（2020·青海中考）如图5-3-7所示，根据图中的信息，可得正确的方程是（　　）
图5-3-7
A.π×x＝π××（x-5） B.π×x＝π××（x+5）
C.π×82x＝π×62×（x+5） D.π×82x＝π×62×5
解析：根据圆柱体的体积计算公式结合水的体积不变，即可得出关于x的一元一次方程为π×x＝π××（x+5）.故选B.
答案：B
例12 有一玻璃密封器皿如图5-3-8①所示，测得其底面直径为20厘米，高为20厘米，先内装蓝色溶液若干.若如图5-3-8②所示放置时，测得液面高10厘米，若如图5-3-8③所示放置时，测得液面高16厘米，则该玻璃密封器皿总容量为（　　）立方厘米.（结果保留π）
①　　 ②　 ③
图5-3-8
A.1 250π B.1 300π C.1 350π D.1 400π
解析：设该玻璃密封器皿总容量为V cm3，则根据圆柱体的体积公式和图②和图③中的溶液体积相等，可列方程π×102×10＝V-π×102×（20-16），解得V＝1 400π.故选D.
答案：D
方法归纳：解决等体积问题
（1）溶液放在不同容器中，其体积不变；（2）熟练运用几何体体积的计算公式，例如圆柱体体积的计算公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高；长方体的体积公式V＝abh，其中，a，b为底面长方形的长和宽，h为长方体的高.
例13 有一个底面直径为0.2 m的圆柱形水桶，里面盛有一部分水，把936 g重的钢球（球形）全部浸没在水中，如果取出钢球，那么水面下降了多少cm？（1 cm3钢重7.8 g，π取3.14，结果精确到0.01 cm）
解：设水面下降了x cm，
根据题意，得π×·x＝，解这个方程，得x≈0.38.
答：水面下降了约0.38 cm.
注意：列方程时，单位要统一，本题易出现的错误.
例14 某品牌的一种牙膏出口处是直径为8毫米的圆形，强强每次刷牙都挤出1厘米的牙膏，这样一支牙膏可用45次.该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处改为6毫米，强强还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏，这样一支牙膏能用多少次？
解：1厘米＝10毫米.设一支牙膏能用x次，
由题意，得3.14×（8÷2）2×10×45＝3.14×（6÷2）2×10·x，解得x＝80.
答：这样一支牙膏能用80次.
题型四　与平面图形面积有关的方案设计
例15　一长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14 m，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35 m的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5 m；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2 m，谁的设计符合实际？鸡场的面积是多少？
分析：小王：设长为x m，则宽为x-5 m，根据周长为35 m，列方程求解.
小赵：设长为x m，则宽为x-2 m，根据周长为35 m，列方程求解.
解：设小王围成鸡场的长为x m，则宽为（x-5）m.由题意得x+2（x-5）＝35，解得x＝15（不合题意，舍去）.设小赵围成鸡场的边长为x m，则宽为（x-2）m.由题意得x+2（x-2）＝35，解得x＝13，所以面积为13×11＝143（m2）.
答：小赵的设计符合实际，鸡场面积为143 m2.
拓展资料
趣味数学
据说张飞在做大将之前曾经贩卖过小猪.一日，张飞挑着两筐小猪来到集市，刚放下担子，就有一个红脸大汉走过来说：“我要买你两筐小猪的一半零半只.”话音刚落，又过来一黑脸大汉说：“如果他买了，我就买剩下的一半零半只.”没等张飞答话，又挤过来一个白面书生说：“如果他们两人都买了，那我就买他们两人剩下的一半零半只.”
张飞一听，不由得黑须倒竖，怒上心头，心想，小猪哪有买半只的，这不是存心欺负我吗？可转念一想，这三个人为什么要提出这样的买猪方法呢？是不是这里面有什么道理，只是我老张没有想明白？其实张飞也是粗中有细的人，仔细想了想，张飞答应这三人的要求，把猪卖给他们，并且正好把猪分完.
聪明的同学们，你能根据一元一次方程的知识求出张飞一共卖出多少只小猪吗？这三人各自买了多少只呢？
解：设张飞共有小猪x只，则
第一人买的小猪的数量是x+，余下数量是；
第二人买的小猪的数量是，余下数量是；
第三人买的小猪的数量是，余下数量是0.
因此得出方程x＝x+，
去括号，得x＝x+x-x-，
移项，合并同类项，得x＝，
系数化为1，得x＝7，所以x+＝4， +＝2，7-4-2＝1.
答：张飞共卖出7只小猪，这三人分别买了4只、2只、1只小猪.
“瞎转圈”的道理
有人曾经做过一个很有趣的实验：在草坪上整齐地排列着100名飞行员，把他们的眼睛都蒙起来，然后叫他们一直向前走去.起初，他们走得还比较直，接着一些人渐渐向右偏转，另一些人向左偏转，逐渐转起圈来，最后他们又踏上了自己已走过的路径.实际上，很久以前人们就已经注意到：没有携带指南针在荒漠中的旅行家，都不能走成直线方向，而是绕着圆圈打转，接连多次回到他的出发点.
图5-3-9　 图5-3-10
上面的现象看起来仿佛有点神秘，其实道理并不复杂.人走路的时候，只有两腿肌肉工作得完全相同，他才可以不需要用眼睛就能走成直线.但实际上，绝大多数人的双腿肌肉发育得并不相同.举一个例子来说，一位步行者左腿比右腿迈的步子大，除非用眼睛来帮助修正走路的方向，否则他就要向右边斜过去，直至走成两个同心圆（如图5-3-10所示）.如果他左右两腿走路的时候踏脚线间的距离大约是10 cm，即0.1 m，那么当这个人走完一个圆周时，他右腿走的路途是2πR，左腿是2π（R+0.1），两腿行走距离的差为2π×0.1＝0.2π（m）.
另一方面，如果他行走一圈的平均步长为0.7 m，那么走完一圈所走步数可以近似地等于，即左右腿所走步数都可以近似地看成.把这个结果乘两腿步长差x，就应为两腿行走一圈长度的差0.2π m，即
＝0.2π，
Rx＝0.14.
如果这个人左腿每一步比右腿多0.4 mm，那么蒙上眼睛后他所走圆周的半径满足方程0.000 4R＝0.14，即R大约为350 m.