北师大版数学七年级上册 4.2 比较线段的长短 典型例题 教案

2　比较线段的长短
典型例题
题型一　线段的长短比较
如图4-2-1所示，比较线段AB与AC，AD与AE，AE与AC的长短.
解法1：用圆规截取可得AB＞AC，AD＜AE， AE＝AC.
解法2：用刻度尺量得各线段的长度，比较得AB＞AC，AD＜AE， (
图
4
-
2
-
1
)AE＝AC.
点拨：（1）用叠加法比较线段的长短，常借助圆规进行，用圆规得出一条线段的长，然后在另一条线段上画线比较.
（2）用度量法比较线段长短时要尽量减小测量误差.
题型二　线段的和差
线段的和差作图
例2　如图4-2-2所示，已知线段a，b，c（a＞c），用圆规和直尺画线段，使它等于a+2b-c.
图4-2-2
解：如图4-2-3所示.
（1）画射线AE；
（2）在射线AE上顺次向右截取线段AC＝a，CD＝2b；
（3）在线段AD上截取线段DB，使DB＝c.
则线段AB即为所求作的线段.
图4-2-3
方法归纳：作线段的和差时截取线段的方法
（1）进行线段和、差的作图时，截取线段的顺序和方向要准确，“加”要向外作（即在线段的延长线上顺次截取），“减”要向内作（即在线段上反向截取）；（2）作图痕迹要保留；（3）结论要写明哪条线段是所求作的线段.
2.线段的和差计算
例3　已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB之比为（　　）
A.3∶4 B.2∶3 C.3∶5 D.1∶2
分析：根据题意，画出图形，因为CA＝3AB，则CB＝CA+AB＝4AB，所以线段CA与线段CB之比可求出.
解析：如图4-2-4所示，∵ CA＝3AB，∴ CB＝CA+AB＝3AB+AB＝4AB，∴ CA∶CB＝3∶4.
图4-2-4
答案：A
点拨：本题考查了线段长短的比较，解题的关键是画出图形灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系.
例4　已知线段AB＝8 cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3 cm，求线段AC的长.
解：本题分两种情况.
（1）如图4-2-5所示，当点C在线段AB的延长线上时，
AC＝AB+BC＝8+3＝11（cm）；
图4-2-5 图4-2-6
（2）如图4-2-6所示，当点C在线段AB上时，
AC＝AB-BC＝8-3＝5（cm）.
综上所述，线段AC的长为11 cm或5 cm.
点拨：当涉及图形问题时，应先画出所有符合条件的图形，再求解.注意在直线上到已知点距离等于定长的点往往在点的左、右两边各有一个，共有两个点.
题型三　应用线段的性质解决实际问题
平面内确定距离之和最小
例5　如图4-2-7所示，A，B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学原理是（　　）
A.两点之间线段最短 B.线段可以比较长短
(
图
4
-
2
-
7
)C.线段有两个端点 D.两点确定一条直线
解析：公园湖面上架设曲桥，可以增加游客在桥上行走的路程，从而使游客观赏湖面景色的时间变长，其中数学原理是“两点之间线段最短”.
答案：A
例6　如图4-2-8所示，在一条笔直的公路a的两侧，分别有A，B两个村庄，现要在公路a上建一个汽车站C，使汽车站到A，B两个村庄的距离之和最小，试确定汽车站C的位置.
图4-2-8 图4-2-9
解：如图4-2-9所示，连接AB，与直线a交于点C，这个点C的位置就是符合条件的汽车站的位置.
点拨：“两点之间线段最短”在实际生活中有着广泛的应用，此类问题要与线段的性质联系起来，这里线段最短是指线段的长度最短，连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，线段是图形，线段的长度是数值.
例7　平原上有A，B，C，D四个村庄，如图4-2-10所示，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池.不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它与四个村庄的距离之和最小.
图4-2-10 图4-2-11
分析：利用“两点之间线段最短”可以求一点使该点到已知几点的距离之和最小.
解：如图4-2-11所示，连接AC与BD，它们的交点为H，点H就是修建水池的位置，这一点到A，B，C，D四点的距离之和最小.
点拨：由“两点之间线段最短”可知，到A，C两点的距离之和最短的点在线段AC上，到B，D两点的距离之和最短的点在线段BD上，所以AC，BD的公共点就是到四点的距离之和最小的点.
2.确定立体图形表面上的最短路径
例7　如图4-2-12所示，蚂蚁在圆锥底面的点A处，它想绕圆锥侧面爬行一周后回到点A处，你能画出它爬行的最短路线吗？
图4-2-12 图4-2-13
分析：要求最短路线，可利用“两点之间线段最短”，而路线又过侧面，所以应从侧面展开图来找路线.
解：如图4-2-13所示，沿着圆锥顶点D和点A的连线将圆锥侧面剪开并展开得到一个扇形，点A′与点A在圆锥上是同一点，连接AA′，线段AA′即为最短路线.
例8　如图4-2-14所示，一只蚂蚁想从点A沿圆柱的侧面爬到点B，走哪一条路最近？请你试着画出这条最短的路线，并说明理由.
分析：求从点A到点B的最短路线，可考虑线段的基本事实：两点之间线段最短.因此要先把圆柱的侧面展开图画出来.
(
图
4
-
2
-
14
)解：这条最短的路线是如图4-2-15②所示的曲线AB.
理由：将如图4-2-14所示的圆柱的侧面展开，如图4-2-15①.连接AB，根据“两点之间线段最短”可知AB最短.AB的长即是圆柱侧面上曲线AB的长，如图4-2-15②所示.故这只蚂蚁沿着如图4-2-15②所示的曲线AB爬行，路线最短.
②
图4-2-15
方法归纳：在立体图形上画两点之间最短路线的方法：先将立体图形的展开图画出来，然后连接已知两点，利用“两点之间，线段最短”即可画出最短路线.
例9　如图4-2-16所示，有一个正方体盒子，一只虫子在顶点A处，一只蜘蛛在顶点B处，蜘蛛沿着盒子表面准备偷袭虫子，那么蜘蛛要想最快地捉住虫子，应该怎样走？你能画出来吗？与你的同伴交流一下.
图4-2-16 图4-2-17
解：把正方体中含A，B点的两个相邻面展开在一个平面上，根据“两点之间线段最短”，可知线段BA即为蜘蛛所走的最短路径.如图4-2-17所示.
点拨：解决这类问题，首先把立体图形的表面展开成平面图形，再利用“两点 (
图
4
-
2
-
18
)之间线段最短”的性质来解决，体现了转化思想方法的应用.本题中蜘蛛有多种行走路径，经过的表面可以不同，但最短路程是相同的.如图4-2-18所示.
题型四　线段中点的应用
例10　如图4-2-19所示，已知AB＝8 cm，BD＝3 cm，C为AB的中点，则线段CD的长为
　　　　 cm.
图4-2-19
解析：先根据线段中点的定义求出BC的长，再利用线段的差，求出CD的长.
因为C为AB的中点，AB＝8 cm，所以BC＝AB＝×8＝4（cm）.
因为BD＝3 cm，所以CD＝BC-BD＝4-3＝1（cm）.
答案：1
例11　如图4-2-20所示，AC＝8 cm，CB＝6 cm，如果点O是线段AB的中点，求线段OC的长度.
图4-2-20
分析：由题意，可先利用AC+CB＝AB求出AB，然后利用线段的中点的概念求出OB＝AB，再根据图形求出OC即可.
解：因为AB＝AC+CB＝8+6＝14（cm），
点O是线段AB的中点，
所以AO＝OB＝＝7（cm），
所以OC＝OB-CB＝7-6＝1（cm）.
例12　（1）如图4-2-21所示，线段AB＝4，点O是线段AB上一点，C，D分别是线段OA，OB的中点，小明据此很轻松地求得CD＝2.你知道小明是怎样求出来的吗？
图4-2-21
（2）小明在反思过程中突发奇想：若点O运动到AB的延长线上，原有的结论“CD＝2”是否仍然成立？请帮小明画出图形并说明理由.
解：（1）当点O是线段AB上一点时，
因为C，D分别是线段OA，OB的中点，所以OC＝OA，OD＝OB，
所以CD＝OC+OD＝OA+OB＝（OA+OB）.
因为OA+OB＝AB＝4，所以CD＝AB＝×4＝2.
（2）若点O运动到线段AB的延长线上，原有的结论“CD＝2”仍然成立，如图4-2-22所示.
图4-2-22
因为C，D分别是线段OA，OB的中点，所以OC＝OA，OD＝OB.
因为CD＝OC-OD，所以CD＝OA-OB＝（OA-OB）.
因为OA-OB＝AB＝4，所以CD＝AB＝×4＝2.
点拨：第一种情形CD＝OC+OD，第二种情形CD＝OC-OD，两种情形都是整体求出“OC+OD”和“OC-OD”，并不是分别求出OC，OD，再求两者的和或差，用这种方法解题有一定的技巧性，也有一定的难度.
例13　已知线段AB＝4.8 cm，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，点E在AB上，且CE＝AC.请你画图并计算DE的长.
分析：若想求得线段DE的长，需先求得线段CE和CD的长，其中线段CD的长可根据线段中点的概念求得，线段CE的长可由CE＝AC求得.因为不知道点E与点C的位置关系，所以应分点E在点C的左侧与点E在点C的右侧两种情况来讨论.
解：因为AB＝4.8 cm，点C是线段AB的中点，所以AC＝BC＝AB＝2.4 cm，CE＝AC＝0.8 cm.
因为点D为线段BC的中点，所以CD＝BC＝1.2 cm.
（1）当点E在点C的左侧时，如图4-2-23所示，则DE＝CE+CD＝0.8+1.2＝2（cm）.
图4-2-23 图4-2-24
（2）当点E在点C的右侧时，如图4-2-24所示，则DE＝CD-CE＝1.2-0.8＝0.4（cm）.
综上所述，线段DE的长为2 cm或0.4 cm.
点拨：解几何问题时，在只有数量关系而没有给出图形的情况下，往往要对可能出现的情况进行分类讨论.如本题中分点E在点C的左侧和点E在点C的右侧两种情况进行讨论.
拓展资料
长度的测量
在日常生活和生产中，人们经常要进行长度的测量.
测量离不开测量单位.在国际单位制中，长度的基本单位是米（m），1 m 最早是由地球球面上经过巴黎经线的二千万分之一定出的.常用的单位还有千米（km）、分米（dm）、厘米（cm）、毫米（mm）、微米（m）等.
保存在国际度量衡局中的米的标准尺
图4-2-25
科研中还经常用到更小和更大的长度单位.现在开始广泛应用的纳米科学?，就是在纳米（nm）尺度上研究物质的特性和相互作用，1 nm等于十亿分之一米，人的头发的直径就相当于7万 nm！在天文学上，经常用天文单位和光年计算星体间的距离.1天文单位是地球到太阳的平均距离，约等于1.5×108 km，1光年是光1年走过的距离，约等于9.46×1012 km.
除了国际单位制的长度单位外，有时还用到其他一些长度单位.例如，海上航行经常使用的长度单位海里?（n mile，1 n mile≈1 852 m）；人们经常提及的“××英寸彩电”使用的是英制长度单位等.
查一查资料，英制长度单位包括哪些单位？它们和国际单位制的长度单位是如何换算的？你知道25英寸、29英寸彩电的屏幕对角线长度是多少厘米吗？
测量长度的工具有很多种，常用的工具有木尺、塑料尺、卷尺、钢卡尺、游标卡尺等.如果测量精度要求不高，也可以用肘、拃、步长等来估计距离.
图4-2-26 图4-2-27
随着科技的发展，人们已经发明了许多测量精度很高的测距仪，例如用于测量人造卫星的激光测距仪，测量8 000 km 远的卫星时，误差不超过2 cm.
? “纳米技术”是研究结构尺寸在1纳米到100纳米范围内，材料的性质和应用的一种技术.通过直接操纵和安排原子、分子来创造新材料，并且在纳米尺度内探索物质运动的新规律.现在，它已在许多领域得到了广泛的应用，将给人类生活带来深远影响.
?海里用于海上航行的距离、离海岸线的距离、邻海范围等.
这里还可以让学生查阅相关资料，了解其他一些单位之间的换算关系.