肥东县综合高中2022-2023学年高三上学期期中考试
数学试题
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分。在每小题有一项符合题目要求)
已知集合,则( )
A. B.
C. D.
设定义在上的偶函数满足,若,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
已知圆的半径为,点满足,,分别是上两个动点,且,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
已知,,,当时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( )
A. B.
C. D.
在面积为的中,内角、、所对的边分别为、、,,则( )
A. B. C. D.
数学必修二介绍了海伦秦九韶公式:我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作数书九章中,提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式,与著名的海伦公式完全等价,由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实一为从隔,开平方得积若把以上这段文字写成公式,即,其中、、分别为内角、、的对边若,,则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
将函数的图象上所有点向右平移个单位长度,得到如图所示的函数的图象,则( )
A. B. C. D.
几何原本卷的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明现有如图所示图形,点在半圆上,点在直径上,且,设,,则该图形可以直接完成的无字证明为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题,共20分。在每小题有多项符合题目要求)
设的内角所对的边分别为,且若点是外一点,,下列说法中,正确的命题是( )
A. 的内角
B. 一定是等边三角形
C. 四边形面积的最大值为
D. 四边形面积无最大值
给出下面四个推断,其中正确的是( )
A. 若 B. 若
C. 若,则 D. 若,则
已知函数满足当时,,且对任意实数,满足,当时,,则下列说法正确的是( )
A. 函数在上单调递增 B. 或
C. 函数为非奇非偶函数 D.
将函数的图象向左平移个单位长度,再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到如图所示的函数的部分图象,则关于函数的说法,正确的是( )
A. 最小正周期为 B. 图象关于点对称
C. 图象关于直线对称 D. 在区间上的值域为
三、填空题(本大题共4小题,共20分)
已知,,若,,使得,则实数的取值范围是_________
设函数若,则实数的取值范围是 .
已知函数,若对任意的正数,,满足,则的最小值为 .
设向量的模为,向量,且,则与的夹角等于___________.
四、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
本小题分
已知函数.
讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点;
设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.
本小题分
已知数列的通项公式为,.
求数列的前项和;
设,求的前项和.
本小题分
已知函数,.
若,写出它的单调递增区间;
若对于的任意实数,都有成立,试求实数的范围.
本小题分
中,角,,对应的边分别是,,,已知.
求角的大小;
若的面积,,求的值.
本小题分
已知函数的图象与轴交点的纵坐标为,在轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
求的解析式;
求在上的值域.
本小题分
已知函数的图像恒过定点,且点又在函数的图像上.
若,求的值
若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
答案和解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D D B D A C C ABC ABC ACD CD
1. 【解析】由已知,得
又
故选C.
2. 【解析】当时,令,解得.
又是定义在上的偶函数,
其图象关于轴对称,
不等式在上的解集为
不等式等价为,
解得故选D.
3. 【解析】,
设、的中点为,在半径为的圆中,,得,,
,
即,
当与反向共线时,取得最小值;
当与同向共线时,取得最大值;
即的取值范围是;
4. 【解析】由幂函数、指数函数和对数函数的图象可知,当自变量在时,的增长率大于的增长率大于的增长率,故三个函数的增长速度为.故选B.
5. 【解析】由,有,
有,有,有,
又由及正弦定理,有,
有,有,由正弦定理有,
则.故选D.
6. 【解析】因为,
所以,
由正弦定理可得:,代入面积公式可得:
,
所以当时,取得最大值,
所以面积的最大值为,故选:.
7. 【解析】依题意,,
由函数的图象可知:,
又的周期满足,得,
所以,得,
所以,
又,得,,
所以,,
又,所以,
所以,
所以.故选C.
8. 【解析】由图形可知:,.
在中,由勾股定理可得:
.
,
..故选:.
9. 【解析】 ,
根据正弦定理得 ,
,
即 ,
是三角形内角, ,
,
,且 ,
,
,,
,
为等边三角形,B正确;
由,则,且,
,
所以当时有最大面积为,故C正确,D错误.故选ABC.
10. 【解析】对.则,
则由基本不等式可得,
当且仅当时等号成立,故A正确;
对由可得,
则,故B正确;
对若,则,
则,
当且仅当时等号成立,故C正确;
对,,
,
两边开方可得,,故D错误.故选ABC.
11. 【解析】令,,得,
由题意知,所以,故B错误;
当时,,,进而得.
设,且,则,,
.
即,所以是上的增函数,故A正确;
由是上的增函数,可知C正确;
,
同理,,
而,
因为,所以
,
即 ,故D正确.故选:.
12. 【解析】由图可知,,,
,
又由,可得,且,
,
,
将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍,
得到函数,
再将函数图象向右平移个单位长度,
得到函数,
,
对,易知的最小正周期为,A错误;
对,令,,得,
函数图象的对称中心为,
由,得,不符合,B错误;
对,令,得,
函数图象的对称轴为直线,
当时,,故C正确;
对,当时,,
令,即得,
所以在区间上单调递增,在上单调递减,
又,,,
所以函数在区间上的值域为.
故D正确.故答案选:.
13.
【解析】因为时,;
时,
因为对,,使得,
故只需,即.
故答案为.
14.
【解析】函数的图象如图,
由,可得,由图可知,,
故答案为.
15.
【解析】因为,所以函数的定义域为.
因为,
所以,所以为奇函数.
又,所以,,即,
所以.
当且仅当即,时,等号成立,
所以最小值为.
16.
【解析】,
,
所以,又,所以与的夹角.
17.解析:函数,定义域为:,
,且,
在,上单调递增,
在区间取值,代入函数,
,,,
在有且仅有一个零点,
在区间取值,代入函数,
,,,
在上有且仅有一个零点,
故在定义域内有且仅有两个零点;
是的一个零点,则有,
曲线,则有,
曲线在点处的切线方程为:,
即,
可得,
而曲线的切线在点处的切线方程为:,
即,
故曲线在点处的切线也是曲线的切线.
故得证.
18.解:,.
数列的前项和.
.
的前项和
.
19.解:当时,,此函数是一个复合函数,外层是增函数,
令可解得,或,或,即函数的定义域是
又
内层函数在与上是增函数
复合函数在与上是增函数
所以函数的单调递增区间为与-----分
由题意,易知函数为偶函数,则当时为减函数.
对于时,,-----分
设,由题意得:,或-----分
则或-----分
20.解:由,得,
即,解得舍去.
因为,所以.
由,得到又,解得.
由余弦定理得,故.
又由正弦定理得.
21.解:依题意,可得,
且,则,
又因为在轴右侧的第一个最高点,
故,所以.
函数的表达式为;
因为,所以,
当,即时,;
当即时,.
故在上的值域.
22.解:,
当时,,
则函数图像恒过定点,
又在函数图像上,
则,得,
由,
则,
令,则,
即,,
,
,
即,
解得.
,
则在上恒成立,
只需,
在区间上单调递增,
当时,,
.