(共29张PPT)
5.3水箱变高了
北师版七年级上册
教学目标
1.通过分析实际问题中的“不变量”，能正确建立方程.
2.通过小组讨论，能借助表格找出等量关系.
3.通过师生共同解析例题，能正确分析应用题的题意，设未知数，列方程，求解并检验解的合理性。
教学重难点
重点：
分析实际问题中的“不变量”,建立方程模型解决问题.
难点：
正确分析应用题的题意，设未知数，列方程，求解并检验解的合理性.
新知导入
想一想：解一元一次方程有哪些步骤？
解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1 等步骤，把一个一元一次方程“转化”成 x = a 的形式.
新知导入
同学们听过“朝三暮四”的故事吗？
【想一想】猴子为什么高兴了？这其中有什么数学奥秘吗？
新知讲解
将一个底面直径是 20 cm、高 9 cm 的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径为10 cm 的“瘦长”形圆柱．假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么圆柱的高变成了多少？
问题中的等量关系是什么？
锻压前的体积 = 锻压后的体积．
新知讲解
设锻压后圆柱的高为 x cm，填写下表：
9
x
新知讲解
∴根据等量关系，列出方程：
∵锻压前的体积 = 锻压后的体积．
因此，高变成了36 cm.
解得 x =36 .
列方程时，关
键是找出问题中的
等量关系.
新知讲解
用一元一次方程分析和解决实际问题的基本步骤：
(1)设___________；
(2)分析问题中的关系，找出其中的________关系，并由此列出________；
(3)解________；
(4) ________解的正确性与合理性，并写出_______．
【总结归纳】
数量
等式
方程
未知数
检验
答案
新知讲解
形积变化问题中的等量关系：形积变化问题中，物体的形状和体积会发生变化，但问题中一定有相等关系，分以下几种情况：
(1)形状发生了变化，体积不变。
其相等关系是：变化前物体的体积=变化后物体的体积.
(2)形状、面积发生了变化，周长不变。
其相等关系是：变化前图形的周长=变化后图形的周长.
【总结归纳】
新知讲解
几何图形中常用的公式：
常用的体积公式.
长方体的体积=长×宽×高；
正方体的体积=棱长×棱长×棱长；
圆柱的体积=底面积×高=πr2h；
圆锥的体积= ×底面积×高= πr2h。
新知讲解
例 用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形.
（1）使得该长方形的长比宽多 1.4 m，此时长方形的长、宽各为多少米？
题目中的等量关系是什么？
长方形的周长始终是不变的，即长与宽的和为：
新知讲解
例 用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形.
（1）使得该长方形的长比宽多 1.4 m，此时长方形的长、宽各为多少米？
解: 设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+1.4) m.
根据题意，得x+x+14=10×
解这个方程，得x=1.8
1.8+1.4=3.2 .
此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.
新知讲解
例 用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形.
（2）使得该长方形的长比宽多 0.8 m，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？
解: 设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+0.8) m.
根据题意，得x+x+0.8=10×
解这个方程，得x=2.1
2.1+0.8=2.9 .
此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m.
新知讲解
例 用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形.
（2）使得该长方形的长比宽多 0.8 m，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？
长方形的长为 2.9 m，宽为 2.1 m，
它所围成的面积为2.9×2.1 = 6.09 ( m 2 )，
（1）中长方形所围成的面积为 3.2×1.8 = 5.76 ( m 2 )．
此时长方形的面积比（1）中面积增大 6.09 - 5.76 = 0.33 (m2).
新知讲解
例 用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形.
（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化？
解: 设正方形的边长为 x m.
根据题意，得x+x=10×
解这个方程，得x=2.5， ∴正方形的边长为 2.5 m，
它所围成的面积为 2.5×2.5 = 6.25 ( m2 )，
比（2）中面积增大 6.25 - 6.09 = 0.16 ( m2 ).
新知讲解
1. 等长变形是指图形或物体的形状发生变化，但变化前后物体的周长不变.
2. 一般用固定长度的线段围成不同形状的图形，关键是根据周长这一不变量列方程求解.
【总结归纳】
新知讲解
几何图形中常用的公式：
(1)常用的面积，周长公式.
长方形的面积=长×宽； 长方形的周长=2×(长+宽)；
正方形的面积=边长×边长； 正方形的周长=边长×4;
三角形的面积= ×底×高； 平行四边形的面积=底×高；
梯形的面积= ×(上底+下底)×高；
圆的面积=πr2；圆的周长=2πr。
课堂练习
1.3月12日是植树节，七年级170名学生参加义务植树活动，如果平均一名男生一天能挖树坑3个，平均一名女生一天能种树7棵，且正好使每个树坑种一棵树，那么该年级的男生、女生各有多少名？
(1)审题：审清题意，找出已知量和未知量；
(2)设未知数：设该年级的男生有x名，那么女生有____________名；
(3)列方程：根据相等关系，列方程为___________________；
(4)解方程：解得x＝__________，则女生有__________名；
(5)检验：将解得的未知数的值放入实际问题中进行验证；
(6)作答：答：该年级的男生有______名，女生有____名．
(170－x)
3x＝7(170－x)
119
51
119
51
课堂练习
2.列方程解应用题：《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊價各幾何？”
题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元．求人数和羊价各是多少．
解：设人数是x.
由题意得5x＋45＝7x＋3，解得x＝21.
5×21＋45＝150(元)．
答：人数是21，羊价是150元．
课堂练习
3.某农场去年计划生产玉米和小麦共200 t，采用新技术后，实际产量为225 t，其中玉米超产5%，小麦超产15%.该农场去年实际生产玉米、小麦各多少吨？
解：设该农场去年计划生产玉米x t、小麦(200－x)t.
根据题意，得(1＋5%)x＋(1＋15%)·(200－x)＝225，
解得x＝50. 则200－x＝200－50＝150.
50×(1＋5%)＝52.5(t)，
150×(1＋15%)＝172.5(t)．
答：该农场去年实际生产玉米52.5 t、小麦172.5 t.
课堂练习
4.如图，小明从一张正方形的纸片上剪下一个宽为6 cm的长条后，再从剩下的纸片上剪下一个宽为8 cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形的边长是( )
A．20 cm
B．24 cm
C．48 cm
D．144 cm
B
课堂练习
5.如图，一个装有半瓶多饮料的饮料瓶中，饮料的高度为20 cm；把饮料瓶倒过来放置，饮料瓶空余部分的高度为5 cm.已知饮料瓶的容积为30 cm3，则瓶内现有饮料________cm3.
24
课堂练习
6.墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示(单位：cm)．小莉将梯形下底的钉子去掉，并将这根彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示．小莉所钉长方形的长、宽各为多少厘米？如果设长方形的长为x cm，根据题意，可列方程为( )
A．2(x＋20)＝20×4＋12×2
B．2(x＋20)＝20×3＋12×2
C．2x＋20＝20×4＋12×2
D．2(x＋20)＝20×2＋12×2
A
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.用一元一次方程分析和解决实际问题的基本步骤：
(1)设未知数；(2)分析问题中的关系，找出其中的等量关系关系，并由此列出一元一次方程；(3)解方程；(4) 验证解的正确性与合理性，并写出答案．
2.形积变化问题
3.等长变形问题
板书设计
课题：5.3水箱变高了
教师板演区
学生展示区
一、用一元一次方程解决实际问题.
二、形积变化问题
三、等长变形问题
作业布置
课本 P144 习题5.6
谢谢
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