课件18张PPT。锐角三角函数锐角三角函数定义锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角函数sin A= cos A= tan A= 活动筋骨脑中有“图”，心中有“式”1、在Rt△ABC中，∠C=900，AB=10，BC=6，则sinB=________，cosB=_______.2、在Rt△ABC中，∠C=900，AB=3，BC=2，求tanA的值。知识检测8?披荆斩棘如图,观察一副三角板:
它们其中有几个锐角?分别是多少度?
(1)sin300等于多少?300600450450(2)cos300等于多少?(3)tan300等于多少?12sin30°=
cos30°=
tan30°=
300角的各类三角函数值的探索 在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。勇往直前(4)sin450,sin600等于多少? (5)cos450,cos600等于多少?(6)tan450,tan600等于多少?请同桌之间展开讨论11Sin45 ° =
cos45°=
tan45°=
1450角的各类三角函数值的探索12sin60°=
cos60°=
tan60°=
600角的各类三角函数值的探索三角函数值例： 计算:
(1)sin300+cos450;
(2) sin2600+cos2600-tan450.老师提示:
Sin2600表示(sin600)2,
cos2600表示(cos600)2,其余类推.三角函数值的计算问题解：（1）原式=（2）原式=
1、解：原式=2：已知tanA·tan20°=1 求∠A。解：因为tanA·tan200=1
所以∠A=900－200=700
3：已知：
求∠A，∠B的度数。解：
4：已知2cos A－1=0,求∠A2解：5：如图，在△ABC中，AD⊥BC，M为AB的中点，
∠B=30°， 。 求tan∠BCM.
MDCBAE解：过点M作ME⊥BC于点E小览天下请在三分钟内完成以下两小题挑战极限如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差( 结果精确到0. 1m).老师提示:将实际问题数学化.登峰造极如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c.
求证:sin2A+cos2A=1谈谈你这节课有什么收获1、300,450,600角的三角函数值2、三角函数值的计算与应用课件23张PPT。解直角三角形 一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余元素的过程，叫做解直角三角形。 探究：（1）在直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？
（2）知道5个元素中的几个，就可以求出其余元素？（1）两锐角这间的关系
∠A＋ ∠ B＝90°（2）两边之间的关系：a2+b2=c2（3）边角之间的关系 如图：在Rt△ABC中，除直角C外的5个元素之间有如下关系： 利用上面的关系，知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的3个未知元素。解直角三角形的原则：（1）有角先求角，无角先求边（2）有斜用弦, 无斜用切； 宁乘毋除, 取原避中。 例1：在Rt▲ABC中，∠C=900，AC= ，BC= ，解这个直角三角形。 例2：在Rt▲ABC中， ∠C=900， ∠ B=350，b=20，解这个直角三角形。（结果保留小数点后一位）仰角、俯角在进行测量时，
从下向上看，视线与水
平线的夹角叫做仰角；
从上向下看，视线与水
平线的夹角叫做俯角
【探究1】直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .PAB450米解：由题意得，答：大桥的长AB为 PAB400米答案: 米变题1：直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .PBA200米C答案: 米变题2：直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和60°，求飞机的高度PO .200米POBAD答案: 米变题3：直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.答案：AB≈520（米）变题4：（2008桂林）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°（如图5）．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据 ）.45°30°45045°30°40060°45°20020045°30°练习：1、2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行，如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，Π取3.142，结果保留整数）FPOQ 2、热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为300，看这栋楼底部的俯角为600，热气球与离楼的水平距离为120m，这栋高楼有我高？（结果保留小数后一位）
3、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东650方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到过位于灯塔P的南偏东340方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果保留小数点后一位）ABDCAPBC【探究2】学生小王帮在测绘局工作的爸爸买了一些仪器后与同学在环西文化广场休息，看到濠河对岸的电视塔，他想用手中的测角仪和卷尺不过河测出电视塔空中塔楼的高度.现已测出∠ADB=40°，由于不能过河，因此无法知道BD的长度，于是他向前走50米到达C处测得∠ACB=55°，但他们在计算中碰到了困难，请大家一起想想办法，求出电视塔塔楼AB的高.（参考数据： ）答案：空中塔楼AB高约为105米【探究3】 在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后， 又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，已知点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度．
（计算结果精确到0.1米） 参考数据:答案: 米简单实
际问题数学模型 直角三角形 三角形 梯形 组合图形构建解通过作高转化为直角三角形解数学建模及方程思想？1．把实际问题转化成数学问题，这个转化包括两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系.2．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，画出直角三角形.解题方法小结：2.如图2，在离铁塔BE 120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE= _________ （根号保留）．1.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD为100m，塔高CD为 m，则下面结论中正确的是（ ）
A．由楼顶望塔顶仰角为60°
B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30°
D．由楼顶望塔基俯角为30°C3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于 （根号保留）．4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°
，则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留）． ABCDD′思考1：一架直升机从某塔顶Ａ测得地面C、D两点的俯角分别为30°、 45°，若C、D与塔底Ｂ共线，CD＝200米，求塔高AB？思考2：有一块三形场地ABC，测得其中AB边长为60米，AC边长50米，∠ABC=30°，试求出这个三角形场地的面积．作业必做题：
书本P93/4、P94/7题．
课后思考：如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45o降为30o，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一水平地面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0．01）
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由 (参考数据： ）课件21张PPT。解直角三角形的应用 直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+ ∠B=900.直角三角形的边角关系直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2.驶向胜利的彼岸互余两角之间的三角函数关系:
sinA=cosB.特殊角300,450,600角的三角函数值.直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数同角之间的三角函数关系:
sin2A+cos2A=1.船有无触礁的危险如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A岛南偏西550的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C处.之后,货轮继续向东航行.驶向胜利的彼岸要解决这个问题,我们可以将其数学化,如图:请与同伴交流你是怎么想的? 怎么去做?你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?真知在实践中诞生解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC= 20海里.设AD=x,则驶向胜利的彼岸数学化答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.古塔究竟有多高如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).驶向胜利的彼岸要解决这问题,我们仍需将其数学化.请与同伴交流你是怎么想的? 准备怎么去做?现在你能完成这个任务吗?行家看“门道”这个图形与前面的图形相同,因此解答如下:驶向胜利的彼岸答:该塔约有43m高.解:如图,根据题意可知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.设CD=x,则∠ADC=600,∠BDC=300,老师期望:这道题你能有更简单的解法.楼梯加长了多少某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).现在你能完成这个任务吗?驶向胜利的彼岸请与同伴交流你是怎么想的? 准备怎么去做?联想的功能这样做驶向胜利的彼岸解:如图,根据题意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(1)AB-BD的长,(2)AD的长.答:调整后的楼梯会加长约0.48m.联想的功能这样做驶向胜利的彼岸解:如图,根据题意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(2) AD的长.答:楼梯多占约0.61m一段地面.钢缆长几何如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成400夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m).驶向胜利的彼岸怎么做?我先将它数学化!真知在实践中诞生解:如图,根据题意可知,∠CDB=400,EC=2m,DB=5m.求DE的长.驶向胜利的彼岸就这样∴∠BDE≈51.12°.答:钢缆ED的长度约为7.97m.大坝中的数学计算2 如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=1350.
(1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).驶向胜利的彼岸咋办先构造直角三角形!什么是坡角？什么是坡度？解答问题需要有条有理解:如图,(1)求坡角∠ABC的大小;驶向胜利的彼岸有两个直角三角形先做辅助线!过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥BC于点F.∴∠ABC≈13°.答:坡角∠ABC约为13°.计算需要空间想象力解:如图,(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).驶向胜利的彼岸再求体积!先算面积!答:修建这个大坝共需土石方约10182.34m3.知识的升华P93 习题28.2 第 8、9题;
祝你成功！驶向胜利的彼岸课后思考：1 如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的高度为20m,求此斜坡的倾斜角.驶向胜利的彼岸2.有一建筑物,在地面上A点测得其顶点C的仰角为300,向建筑物前进50m至B处,又测得C的仰角为450,求该建筑物的高度(结果精确到0.1m).3. 如图,燕尾槽的横断面是一个等腰梯形,其中燕尾角∠B=550,外口宽AD=180mm,燕尾槽的深度是70mm,求它的里口宽BC(结果精确到1mm).结束寄语悟性的高低取决于有无悟“心”,其实,人与人的差别就在于你是否去思考,去发现.再见课件28张PPT。意大利比萨尔塔在1350年落成时就已倾斜，其塔顶离中心偏离垂直中心线2.1m，1972年比萨地区发生地震，这座高54.5m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2m，而且还以每年增加1cm的速度继续倾斜，随时都有倒塌的危险。为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm。 如果要你根据上述信息，用“塔身中心线与垂直中心线所成的角?（如图）“来描述比萨斜塔的倾斜程度，你能完成吗？
从数学角度看，上述问题就是：已知直角三角形的某些边长，求其锐角的度数，对于直角三角形，我们知道三边之间的关系和两个锐角之间的关系，但我们不知道”边角之间的关系“，因此，这一问题的解答需要学习新的知识。塔身中心线垂直中心线?锐角三角函数(1)10m1m 5m10m（1）（2）梯子在上升变陡的过程中，倾斜角，铅直高度与梯子的比,水平宽度与梯子的比,铅直高度与水平宽度的比,都发生了什么变化？ 水平宽度铅直高度倾斜角铅直高度水平宽度梯子在上升变陡的过程中，倾斜角，铅直高度与梯子的比,水平宽度与梯子的比,铅直高度与水平宽度的比,都发生了什么变化？
铅直高度水平宽度梯子在上升变陡的过程中，倾斜角，铅直高度与梯子的比,水平宽度与梯子的比,铅直高度与水平宽度的比,都发生了什么变化？ 铅直高度水平宽度梯子在上升变陡的过程中，倾斜角，铅直高度与梯子的比,水平宽度与梯子的比,铅直高度与水平宽度的比,都发生了什么变化？ 铅直高度水平宽度梯子在上升变陡的过程中，倾斜角，铅直高度与梯子的比,水平宽度与梯子的比,铅直高度与水平宽度的比,都发生了什么变化？
梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿＿＿＿＿倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿＿＿＿＿倾斜角越大——铅直高度与水平宽度
的比＿＿＿＿＿
铅直高度水平宽度越大越大越小越大 AB1 C1 CB想一想(1)直角三角形AB1C1和直角三角 形ABC有什么关系?(2) 和 , 和 ,
和 有什么关系? (3)如果梯子的倾斜角不变，只改变B在梯子上的位置呢? AB1 C1 CB想一想(1)直角三角形AB1C1和直角三角 形ABC有什么关系?(2) 和 , 和 ,
和 有什么关系?(3)如果梯子的倾斜角不变，只改变B在梯子上的位置呢? AB1 C1 CB想一想(1)直角三角形AB1C1和直角三角 形ABC有什么关系?(2) 和 , 和 ,
和 有什么关系?(3)如果梯子的倾斜角不变，只改变B在梯子上的位置呢? AB1 C1 CB想一想(1)直角三角形AB1C1和直角三角 形ABC有什么关系?(2) 和 , 和 ,
和 有什么关系?(3)如果梯子的倾斜角不变，只改变B在梯子上的位置呢? AB1 C1 CB想一想(1)直角三角形AB1C1和直角三角 形ABC有什么关系?(2) 和 , 和 ,
和 有什么关系?(3)如果梯子的倾斜角不变，只改变B在梯子上的位置呢? 结论：由相似三角形的性质得，只要∠A不变，那么都有：===ABB1CC1 即在直角三角形中，当锐角A取一定度数时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个固定值，叫做∠A的正弦，记作sinA；邻边与斜边的比是一个固定值，叫做∠A的余弦，记作cosA；对边与邻边的比是一个固定值，叫做∠A的正切，记作tanA。 AB C∠A的对边∠A的邻边∠A的对边∠A的邻边tanAcosA∠A的邻边∠A的对边斜边sinA斜边斜边1。锐角A的正弦、余弦、和正切叫做∠A的锐角三角函数2。锐角的三角函数的值都是正实数，并且0〈sin α〈1，0〈cosα〈1 ，定义注意：三角函数的定义，必须在直角三角形中. AB C例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°AB=5,BC=3, 求∠A, ∠B的正弦,余弦和正切. 观察以上计算结果,你发现了什么?若AC=5,BC=3呢?
解：在Rt△ABC中,因此例2 如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.
求:BC的长.解：1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.
求: sinB,cosB,tanB.
解：过点A作AD垂直于BC于D.练习∵AB=AC=5 ∴BD=1/2BC=3在Rt△ABD中2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,求:△ABC的周长.解：因此，△ABC的周长=25+20+15=603.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定4.已知∠A,∠B为锐角
(1)若∠A=∠B,则sinA sinB;
(2)若sinA=sinB,则∠A ∠B.练习C==5.如图, ∠C=90°CD⊥AB.6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.练习7.如图,分别根据图(1)和图(2)求∠A的三个三角函数值.8.在Rt△ABC中,∠C=90°, (1)AC=3,AB=6,求sinA和cosB
(2)BC=3,sinA= ,求AC和AB.老师提示:
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.练习谈谈今天的收获畅所欲言 AB C∠A的对边∠A的邻边∠A的对边∠A的邻边tanAcosA∠A的邻边∠A的对边斜边sinA斜边斜边定义回味无穷定义中应该注意的几个问题:1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的, ∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A
的正切,习惯省去“∠”号；
3.sinA,cosA,tanA, 是一个比值.注意比的顺序,
且sinA,cosA,tanA, 均﹥0,无单位.
4.sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,
而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 作业1.书本作业题
2.同步练习
