人教A版（2019）高中数学必修第二册 《平面向量基本定理》名师课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
（1）小明从A到B，再从B到C，则他两次的位移之和是：
A
B
C
D
（2）向量共线定理：
三角形法则
平行四边形法则
首尾相接，由首至尾
共起点
反之，如果是共线向量，那么有且只有一个实数
复习引入
人教A版同步教材名师课件
平面向量基本定理
学习目标
学 习 目 标 核心素养
了解向量基底的含义,在平面内,当一个基底选定后,会用这个基底表示其他向量. 数学抽象
会用平面向量基本定理解决相关问题. 逻辑推理
2020年11月24日4时30分，长征五号遥五运载火箭点火升空，托举嫦娥五号探测器至地月转移轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅。
v
v1
v2
v
探究新知
依照速度的分解，平面内任一向量可作怎样的分解呢？
平行四边形法则
给定平面内两个不共线的向量, ,可表示平面内任一向量吗？
探究新知
O
C
A
B
M
N
探究新知
给定平面内两个不共线的向量, ,可表示平面内任一向量吗？
O
C
A
B
M
N
探究新知
给定平面内两个不共线的向量, ,可表示平面内任一向量吗？
取
使
若
与
共线，则
使
若
探究新知
（１）平面向量基本定理
存　在　性
唯　一　性
存在
如果
是同一平面内两个不共线向量，
那么对于这一平面的任意向量
一对实数，
使
有且只有
思考：
上述表达式中的
是否唯一？
（ 2 ）
基底：
把不共线的向量
叫做这一平面内
所有向量的一组基底．
探究新知
（1）一个平面内，可作为基底的向量有 对。
无数
①③
探究新知
（2）设O是 两对角线的交点，已知下列向量组：
①与；② 与；③ 与；④ 与，其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的有：
唯一
0
内的任何向量都可以用这组基底来表
中的实数对
是______确定的。
（4）若向量
不共线，且
如果
，那么
（3）选定基底后，这个平面
示，并且
（5）若
是一组基底，若
，则
_____
探究新知
一维直线
平面向量基本定理
二维平面
思想有多远，就能走多远！
探究新知
例1、设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①与；② 与；③ 与；④ 与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　)
A．①②　　 B．①③ C．①④ D．③④
① 与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④ ＝－ ，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．
B
典例讲解
解析
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来，设向量与是平面内两个不共线的向量，若x1＋y1＝x2＋y2，则
方法归纳
1、若向量不共线，则＝，＝，试判断能否作为基底．
设存在实数λ，使＝λ，则＝λ()，
即(2－3λ)＋(2λ－1)＝0，
由于向量不共线，
所以2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，
从而不共线能作为基底．
解：
变式训练
例2、如图所示，在 ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝， ＝，试用表示向量， .
＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋＝－
＝＋＋
＝－＋＋＝－
变式训练
条件不变，试用基底表示.
由平面几何知识知BG＝BF，故＝＋＝ ＋ ＝＋()＝＋－＝＋．
若＝， ＝，试用表示向量， .
＝ ＋ ＝2＋ ＝－2＋ ＝－2＋
＝ ＋ ＝2＋ ＝－2＋ ＝－2＋
典例讲解
解析
(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．
(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.
用基底表示向量的两种方法
方法归纳
2、如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝， ＝，试用表示和.
设＝， ＝，则由M，N分别为DC，BC的中点，可得＝， ＝．
在△ABN与△ADM中，可得
用向量表示，
得
故 ＝.
变式训练
解析
例3、已知||＝||，且与的夹角为120°，求＋与的夹角及－与的夹角．
如图，作＝， ＝，∠AOB＝120°，以，为邻边作平行四边形OACB，则＝＋， ＝－．
典例讲解
因为||＝|| ，所以平行四边形OACB为菱形．
所以与的夹角∠AOC＝60°，
与的夹角即为与的夹角∠ABC＝30°.
所以＋与的夹角为60°， －与的夹角为30°.
解析
(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角．
(2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角.
两个向量夹角的实质及求解的关键
方法归纳
3、如图，已知△ABC是等边三角形．
(1)求向量与向量的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量与向量的夹角．
(1)因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则＝ ，
(2)因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，
所以向量与向量的夹角为90°.
所以∠DBC为向量与向量的夹角．
因为∠DBC＝120°，所以向量与向量的夹角为120°.
变式训练
解析
典例讲解
例4、如图,在△ABC中, ,P是BN上的一点,若,则实数m的值为(
解析
又
思路分析 利用己得,利用点B,P,N共线的条件得出的值.
C
方法归纳
包含两层意思:
( 1)当点P在直线AB上时满足该式;
(2)当点Р满足该式时,点P一定在直线AB上.
变式训练
4. 如图,一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于点E,F,且交其对角线AC于点K,若,则的值为_______.
解析
又E，F，K三点共线，
典例讲解
例5、如图所示, 是两个不共线的非零向量,N为线段OB的中点,M为线段OA上靠近点A 的三等分点,点C在直线MN上,且 ， 的最小值为(
解析
因为点C,M ,N三点共线,所以存在实数 , ,使 ，且又，所以 1，故， 1.易知当取得最小值，最小值为
A
变式训练
5. 如图所示,A,B,C是圆О上的三点,线段CO的延长线与BA 的延长线交于圆О外的一点D,若,则 + 的取值范围是_______.
解析
由题意得，
，
, ，
， 的取值范围为(-1，0).
(-1，0)
典例讲解
例6、已知是平面内所有向量的一个基底,且，若，试求、的值.
思路分析 先用基底表示,再将所得的表达式与条件加以对照,可得有关、 的方程组,解方程组即可求得、 的值.
解析
由题意可得
,且是平面内所有向量的一个基底，
解得
方法归纳
利用平面向量基本定理求参数的题型的常见形式:
一个向量用基底表示,求相应系数的值.对于这类题型,一般先利用向量的运算法则将该向量用同一个基底表示出来,再与已知中给出的形式对照,利用基底表示向量的唯一性求出参数的值.
变式训练
6.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点, .若(, 为实数),则+ =
解析
，且与不共线， ，
故
典例讲解
例7、如图,在平行四边形ABCD中，F是边CD的中点,AF与BD交于点E,用向量方法证明:E为线段BD的三等分点.
解析
设，则
因为点A,E,F与点B,D,E分别共线,所以存在实数, ,使 ， ，
于是 ， - ，所以因为与不共线，所以，解得，
所以，所以点E为线段BD（靠近D）的三等分点.
典例讲解
例8、如图所示,在△ABC中,AD为BC边上的中线,E在边AC上且AE= 2EC,BE交AD于点G,求及的值.
解析
设, =u. AD为BC边上的中线,
，
又，
又 不共线
变式训练
7.如图,在平行四边形ABCD中,M、N分别是边DC、BC的中点.
解析
（1）求证:
（2）设,且,求实数, 的值.
（1） M、N分别是边DC、BC的中点，
，
且
（2）,
,
.
1．基底的性质
(1)不共线性：平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底，基底不同，表示也不同．由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底．
(2)不唯一性：对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
2．两个向量的夹角
(1)向量的夹角是针对非零向量定义的．
(2)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们的范围分别是[0，π]和[0，].
素养提炼
当堂练习
1.已知平行四边形ABCD,则下列各组向量中可以作为该平面内所有向量的一个基底的是( )
D
2.设D为△ABC 所在平面内一点,若,则( )
A
当堂练习
3.已知{, }是表示平面内所有向量的一个基底,那么下面四组向量中不能作为一个基底的是( )
A
4.( )
1
B
5.
.
3
1、平面向量基本定理、两向量的夹角
2、对基本定理的理解
(1)基底不唯一，关键是不共线
(2)实数对 的存在性和唯一性
二、思想方法总结：待定系数法、数形结合、转化思想、方程思想、类比归纳
一、知识总结
归纳小结
归纳小结
平面向量基本定理
基本定理内容
基底
应用
不共线向量，
(，不共线)
作 业
课本27页 练习1、2、 3