人教A版（2019）高中数学必修第二册 《平面向量基本定理及坐标表示》能力探究课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
人教A版同步教材名师课件
平面向量基本定理及坐标表示
---能力探究
平面向量基本定理的应用一待定系数法
1.用基底表示其他向量,主要是平面向量基本定理的应用,其操作步骤如下:
(1)观察待求向量所在的三角形或平行四边形,利用三角形法则或平行四边形法则先将待求向量表示成两个向量（或多个）相关向量的和或差.
(2)再把向量分别进行分解,直到用基底表示出向量.
(3)将代入第(1)步中的式子,从而完成了用基底表示其他向量.
分析计算能力、观察记忆能力
平面向量基本定理的应用一待定系数法
2.待定系数法是利用平面向量基本定理进行向量分解的唯一性的应用,主要是根据题设条件,结合向量共线定理、向量的加减法及几何意义将同一向量利用相同的基底表示成两种不同的表达形式,即(不共线),再根据平面向量基本定理得出来求解.
分析计算能力、观察记忆能力
典型例题
典例1 如图,在中, ,点是上的一点,若 ,则实数的值为( )
A.1 B. C. D.3
解析
根据平面向量基本定理用基底表示向量进行数学运算.根据题意,设,将向量表示成,的一个线性组合,再结合题中向量的等式,建立关于, 的方程组,解之即可得到实数的值.
数学运算、直观想象
典型例题
典例1 如图,在中, ,点是上的一点,若 ,则实数的值为( )
A.1 B. C. D.3
解析
设,则,即
因为 ,故 .
数学运算、直观想象
C
共线问题的证明与运用
简单问题解决能力
1.利用平面向量基本定理解决三点共线问题
(1)若三点共线,则与共线,由向量共线的条件知存在实数使,即 ,所以.
(2)一个重要结论:坐标平面内的三点共线的充要条件是存在三个均不为零的实数,使,且,反之亦成立.
2.利用平面向量共线的坐标表示解决三点共线问题
共线问题的证明与运用
简单问题解决能力
设要证三点共线只需证 ,因为
,所以只需证
.
(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与其共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想.
(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
典型例题
典例2 (2020·豫南九校第三次联考)如图所示,在中,点是的中点,且 ,与相交于点 ,设,则 =( )
A. B. C. D.
本题考查向量共线定理和平面向量基本定理,结合向量的线性表示逐步推理得到答案.
由题意得.
解析
数学抽象、逻辑推理
典型例题
典例2 (2020·豫南九校第三次联考)如图所示,在中,点是的中点,且 ,与相交于点 ,设,则 =( )
A. B. C. D.
已知三点共线,设存在实数,满足.
已知三点共线,设存在实数,满足
解析
数学抽象、逻辑推理
典型例题
典例2 (2020·豫南九校第三次联考)如图所示,在中,点是的中点,且 ,与相交于点 ,设,则 =( )
A. B. C. D.
所以 由为基底,
得 解得所以 =
解析
数学抽象、逻辑推理
A
简单问题解决能力
平面向量的坐标运算及其应用
1.通过建立平面直角坐标系,可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来表示;反过来,任一个有序实数对都表示一个向量.因此向量的坐标表示实质上是向量的代数表示,引入向量的坐标表示后可使向量运算代数化,将数和形结合起来,从而将几何问题转化为代数问题来解决.
2.由于平行四边形的两组对边互相平行,也就是说平行四边形一组对边构成的两个向量共线.如果将平行四边形置于平面直角坐标系中,那么就可运用共线向量坐标的条件,从而可解决相关问题.
平面向量的坐标运算及其应用
3.向量的坐标运算主要是利用加减、数乘运算法则进行的.若已知有向线段两个端点的坐标,则应先求出向量的坐标,再进行坐标运算,解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用.
4.充分利用向量相等的条件建立方程或方程组求待定参数求一个向量的坐标,需求出向量的起点与终点的坐标.
简单问题解决能力
典型例题
典例3 已知为正六边形的两条对角线,点分别在线上,且使得如果三点共线,则的值为( )
A. B.3 C. D.
解析
本题考查向量共线定理,利用向量的坐标表示,建立坐标系得到各点坐标,将三点共线问题转化为再进行向量坐标运算,从而解决问题.
数学运算
典型例题
典例3 已知为正六边形的两条对角线,点分别在线上,且使得如果三点共线,则的值为( )
A. B.3 C. D.
解析
由题意,建立如图所示的直角坐标系,设正六边形的边长为2,则，则
.
数学运算
典型例题
典例3 已知为正六边形的两条对角线,点分别在线上,且使得如果三点共线,则的值为( )
A. B.3 C. D.
解析
因为 ,则 ,
所以+ ,
数学运算
典型例题
典例3 已知为正六边形的两条对角线,点分别在线上,且使得如果三点共线,则的值为( )
A. B.3 C. D.
解析
因为 , , 三点共线,所以,即,所以解得.
数学运算
C
分析计算能力、推测解释能力
利用平面向量共线的坐标表示求交点问题
1.平面图形有交点,一定存在三点共线,从向量的角度上看就有两个向量共线,再由向量共线定理可得出向量坐标的方程(组),从而求出交点坐标.
2.利用向量的坐标运算求线段交点坐标的一般方法
(1)设线段交于点 ,并以为对角线作四边形 .
(2)在四边形中寻找向量间的相等或共线关系.
(3)利用向量的坐标表示这些关系,将问题转化为方程(组)问题.
(4)解这个方程(组),可得到问题的答案.
分析计算能力、推测解释能力
利用平面向量共线的坐标表示求交点问题
3.向量共线问题常涉及的两个方面
(1)已知两个向量的坐标或四个点的坐标,判定三点(或两个向量)是否共线.
(2)已知向量共线求参数,解题时要注意方程思想的运用,向量共线、向量相等都可以作为列方程的依据.证明或判断三点共线、两直线平行时要注意联系平面几何的相关知识,由两向量共起点或共终点确定三点共线,由两向量无公共点确定两直线平行.
典型例题
典例4 已知直角梯形 中,,过点作,垂足为为的中点,用向量的方法证明:
(1);
(2) 三点共线.
解析
本题为了让尽可能多的点落在坐标轴上,所以如图建立坐标系,保证尽可能多的线与坐标轴平行,根据向量共线的坐标表示作为解题依据即可解决问题.
逻辑推理、数学运算
典型例题
典例4 已知直角梯形 中,,过点作,垂足为为的中点,用向量的方法证明:
(1);
(2) 三点共线.
解析
证明:如图,以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建立平面直角坐标系,令.则.因为易知四边形为正方形,所以可求得各点坐标.
逻辑推理、数学运算
典型例题
典例4 已知直角梯形 中,,过点作,垂足为为的中点,用向量的方法证明:
(1);
(2) 三点共线.
解析
分别为.
(1)因为所以 ,所以.又与无公共点,所以
(2)如图,连接因为为的中点,所以
逻辑推理、数学运算
典型例题
典例4 已知直角梯形 中,,过点作,垂足为为的中点,用向量的方法证明:
(1);
(2) 三点共线.
解析
所以
所以 所以 又 与 有公共点所以 三点共线.
逻辑推理、数学运算
分析计算能力、说明论证能力
向量夹角与向量垂直问题
1.求两个向量的夹角一般有两种方法:
(1)直接运用公式求解(为向量与向量的夹角).
(2)坐标法:设为向量与的夹角,则 .这两方法需计算出这两个向量的数量积以及这两个向量的模.
分析计算能力、说明论证能力
向量夹角与向量垂直问题
2.(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题,首先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可.
(2)已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值,首先根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,然后求解参数即可.
典型例题
典例5 (1)若向量则与的夹角等于( )
A. B. C. D.
(2)设向量,若,则实数的值等于( )
A. B. C. D.
解析
本题考查利用向量的坐标求向量夹角,利用向量垂直充要条件的坐标表示求值并进行具体分析计算.
数学运算
典型例题
典例5 (1)若向量则与的夹角等于( )
A. B. C. D.
(2)设向量,若,则实数的值等于( )
A. B. C. D.
解析
(1),设所求夹角为,
则 .因为,所以.
数学运算
C
典型例题
典例5 (1)若向量则与的夹角等于( )
A. B. C. D.
(2)设向量,若,则实数的值等于( )
A. B. C. D.
解析
(2)由,得 .
又由,得,解得 .
数学运算
C
综合问题解决能力
平面向量基本定理及坐标表示的综合应用
1.利用向量的坐标运算解决几何问题
(1)向量坐标的线性运算、向量共线的坐标表示为解决平面几何问题提供了新的工具,将几何问题转化成向量问题后,原问题就变成了代数运算的问题,使抽象的问题变得具体.
(2)向量共线在几何中的应用可分为两个方面:
①已知两向量共线,求点或向量的坐标.
②证明或判定三点共线、两直线平行.
综合问题解决能力
平面向量基本定理及坐标表示的综合应用
2.向量定比分点的坐标表示问题
若点满足 ,设为坐标原点,如图所示,则 ,即 所以点的坐标为 .
平面向量基本定理及坐标表示的综合应用
3.有关向量坐标的信息题
对于信息题的处理应注意以下两点:
(1)要注意概念的内涵与外延,认真领会题中所给信息.
(2)注意题中的条件与结论,将所得到的信息应用到题目中去,即解决实际问题.
4.与向量坐标运算有关的探究问题
求解此类问题常借助坐标运算并假设“能”,进而求解.有解则存在,无解则不存在.
综合问题解决能力
典型例题
典例6 已知:.
(1)求证: ;
(2)若与的长度相等(其中为非零实数),求的值.
解析
本题以三角函数为背景,利用向量坐标解决三角函数综合问题.解决(1)利用向量垂直坐标形式的充要条件证明;(2)利用长度公式,得出的三角函数值.
数学运算
典型例题
典例6 已知:.
(1)求证: ;
(2)若与的长度相等(其中为非零实数),求的值.
解析
(1)证法一:因为所以
又
所以.
数学运算
典型例题
典例6 已知:.
(1)求证: ;
(2)若与的长度相等(其中为非零实数),求的值.
解析
证法二:因为
所以 =
所以
所以 所以.
数学运算
典型例题
典例6 已知:.
(1)求证: ;
(2)若与的长度相等(其中为非零实数),求的值.
解析
(2)解:因为
所以
数学运算
典型例题
典例6 已知:.
(1)求证: ;
(2)若与的长度相等(其中为非零实数),求的值.
解析
注:
同理可求
又因为 所以.
所以
因为所以 又因为所以.
数学运算