人教A版（2019）高中数学必修第二册 《平面向量基本定理及坐标表示》知识探究课件(共40张PPT)

(共40张PPT)
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平面向量基本定理及坐标表示
---知识探究
平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使.我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
探究点1 平面向量基本定理
1.对基底的理解
(1)基底的特征
①基底是两个不共线向量;②基底的选择是不唯一的.平面内两个向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一个基底的条件.
(2)零向量与任意向量共线,故不能作为基底中的向量.
(3)将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化,直至可以用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组,利用基底表示向量的唯一性求解.
要点辨析
2.准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的.
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归,使问题得以解决.
要点辨析
典例1 设是不共线的非零向量,且.
(1)求证:可以作为一组基底;
(2)用表示向量;
(3)若 ,求的值.
思路
说明论证能力、分析计算能力
典型例题
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化,直至可以用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组,利用基底表示向量的唯一性求解.本题利用第二种方法进行说明论证、分析计算解决问题.
典例1 设 是不共线的非零向量,且.
(1)求证:可以作为一组基底;
(2)用表示向量;
(3)若 ,求的值.
(1)证明:假设共线,则,即,得.因为 不共线,
所以 解得,与假设矛盾,故不共线,则可以作为一
组基底.
说明论证能力、分析计算能力
典型例题
解析
典例1 设 是不共线的非零向量,且.
(1)求证:可以作为一组基底;
(2)用表示向量;
(3)若 ,求的值.
(2)解:设,则
得,
得 解得 ,所以.
说明论证能力、分析计算能力
典型例题
解析
典例1 设 是不共线的非零向量,且.
(1)求证:可以作为一组基底;
(2)用表示向量;
(3)若 ,求的值.
(3)解:由 ,得 解得 ,故.
说明论证能力、分析计算能力
典型例题
解析
探究点2 利用平面向量基本定理求参数的值或取值范围
1.利用平面向量基本定理求参数值的基本思路是利用定理的唯一性对某一向量用基底表示两次,然后利用系数相等列方程(组)求解,即对于基底数相等列方程(组)求解,即对于基底 ,若. 且,则有
探究点2 利用平面向量基本定理求参数的值或取值范围
2.充分利用平面几何知识对图中的有关点进行精确定位,往往可使问题更便于解决.
3.平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题.
要点辨析
1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.
2.以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.
要点辨析
3.向量的两个作用
(1)载体作用:关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题.
(2)工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
典例2 如图(1),,点在由射线、线段 及的延长线围成的
区域内(不含边界)运动,且 ,则的取值范围是________.
当时, 的取值范围是__________.
简单问题解决能力
典型例题
先思考 的含义,事实上,如图(2),由向量加法的平行四边形法则可知, 为平行四边形 的对角线,且该平行四边形是以 的反向延长线上的线段 和 上的线段 为两邻边,所以 的取值范围是 .
解析
典例2 如图(1),,点在由射线、线段 及的延长线围成的
区域内(不含边界)运动,且 ,则的取值范围是__________.
当时, 的取值范围是__________.
简单问题解决能力
典型例题
当,即 时,延长交的延长线于点 ,则点 应落在线段(不包括点 )上,其中 ,所以 的取值范围是 .
解析
探究点3 利用平面向量基本定理求解平面几何问题
1.建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
2.通过向量运算,研究几何元素的关系.
3.把运算结果“翻译”成几何关系,这三步曲给出了利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想.在解决平面几何问题时,将平面问题转化为向量问题是关键.对具体问题是选择向量法还是向量的坐标法是难点.
要点辨析
用向量法解几何问题的一般思路:
用向量法解决几何问题时,可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量用基底表示,把几何问题转化为向量问题,通过向量运算,再将向量问题转化为几何问题,即:几何→向量→几何,其中平面向量基本定理是基础.
典例3 如图,在 中,是的中点,点在 上,且与
相交于点,求与.
综合问题的解决能力
典型例题
解析
设,则 ,
根据和分别共线,推测存在实数使得,
根据 ,计算即可.
典例3 如图,在 中,是的中点,点在 上,且与
相交于点,求与.
综合问题的解决能力
典型例题
解析
解:设,则 ,
和分别共线,
存在实数使得,
.
故 , 而
典例3 如图,在 中,是的中点,点在 上,且与
相交于点,求与.
综合问题的解决能力
典型例题
解析
由平面向量基本定理,得
解得
故.
探究点4 平面向量的正交分解及坐标表示
1.正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
2.坐标表示
在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底.任作一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数,使得.我们把 叫做向量的(直角)坐标,记作 .①其中, 叫做 在轴上的坐标, 叫做 在轴上的坐标,①式叫做向量 的坐标表示.与 相等的向量的坐标也为.
特别地,.
要点辨析
平面向量坐标表示的几个注意点:
(1)是根据平面向量基本定理得出来的,因此 的值是唯一确定的.
(2)向量的坐标表示是继向量的几何表示、字母表示后的又一表示方法,向量的坐标表示实际上是向量的代数表示.
(3)注意书写格式,在向量的坐标表示中含有等号,即 不能写成 .
(4)几个特殊向量的坐标:.
(5)由向量的坐标定义知,两个向量相等等价于它们的坐标相等,即
且 ,其中 , .
典例4 如图,在直角坐标系中,
四边形为平行四边形.
(1)求向量的坐标;
(2)求向量 的坐标.
分析计算能力
典型例题
解析
本题以几何图形为背景,考查平面向量的正交分解与坐标表示.(1)作轴于,分析条件,可计算的值,从而可求,通过 ,可求点 ,根据 =,可得.(2)由(1)可知 的坐标,易求 的坐标.
典例4 如图,在直角坐标系中,
四边形为平行四边形.
(1)求向量的坐标;
(2)求向量 的坐标.
分析计算能力
典型例题
解析
解:(1)作轴于点,则. 故. 又 ,,
典例4 如图,在直角坐标系中,
四边形为平行四边形.
(1)求向量的坐标;
(2)求向量 的坐标.
分析计算能力
典型例题
解析
(2)
探究点5 平面向量加、减运算的坐标表示
1.若 , ,则,
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
2.若 , ,则.
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.
要点辨析
1.点的坐标与向量的坐标相关注意点
(1)点的坐标与向量的坐标的区别与联系:点的坐标反映的是点的位置,而向量的坐标反映的是向量的大小和方向,其仅仅由大小和方向决定,与位置无关,只有起点在原点时,向量的坐标与终点的坐标才相等.
(2)在平面直角坐标系下有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量,为加以区分,常说点或向量.
探究点5 平面向量加、减运算的坐标表示
2.由点的坐标求向量的注意点
(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关.
(2)当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变.
(3)在求一个向量的坐标时,可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再用终点坐标减去起点坐标即可得到该向量的坐标.
(4)求一个点的坐标时,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.
典例5 (1)在平行四边形中,为对角线,若,
则=( )
A. B. C. D.
(2)已知 若,则=( )
A. B. C. D.
分析计算能力、简单问题解决能力
典型例题
思路
本题考查向量加法、减法的坐标运算,掌握向量的坐标运算的方法是分析计算本题的关键.
典例5 (1)在平行四边形中,为对角线,若,
则=( )
A. B. C. D.
(2)已知 若,则=( )
A. B. C. D.
分析计算能力、简单问题解决能力
典型例题
解析
(1), .
D
典例5 (1)在平行四边形中,为对角线,若,
则=( )
A. B. C. D.
(2)已知 若,则=( )
A. B. C. D.
分析计算能力、简单问题解决能力
典型例题
解析
(2)由题意得 ,
∴ ,
D
典例5 (1)在平行四边形中,为对角线,若,
则=( )
A. B. C. D.
(2)已知 若,则=( )
A. B. C. D.
分析计算能力、简单问题解决能力
典型例题
解析
∴ ∴
D
D
探究点6 平面向量数乘运算的坐标表示
. 即.这就是说,实数与向量的数量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
要点辨析
两向量共线的几种不同的表示方法:
已知 , ,且.
(1) .这是几何运算,体现了向量与向量的长度及方向之间的关系.
(2).
这是代数运算,用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”,从而減少了未知数的个数,而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征.
要点辨析
(3)当. 时, 即两个向量的相应坐标成比例.
这种形式不易出现搭配错误.
(4)公式.没有的限制,便于应用;公式 必有的限制,但便于记忆,所以我们可以记比例式,但在解题时改写成乘积的形式.
典例6 已知两个向量,当实数取何值时,向量与
平行
分析计算能力、推测解释能力
典型例题
解析
解法一:当与平行时,必存在唯一的实数,使,
即,即.
又因为向量不平行于向量 ,所以要使成立,
思路
本题通过利用向量共线的充要条件、向量共线的坐标表示,推测解释、计算结果.
典例6 已知两个向量,当实数取何值时,向量与
平行
分析计算能力、推测解释能力
典型例题
解析
则 解得
所以当时, 与平行.
思路
本题通过利用向量共线的充要条件、向量共线的坐标表示,推测解释、计算结果.
典例6 已知两个向量,当实数取何值时,向量与
平行
分析计算能力、推测解释能力
典型例题
解析
解法二:因为
所以要使 与平行,则解得
探究点7 平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量 ,
.
要点辨析
1.平面向量数量积的定义及其坐标表示,为我们提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握这两种途径,根据不同的条件选择不同的途径,可以优化解题过程.同时,平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁,成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.
2.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时,向量夹角问题常隐藏了许多陷阱与误区,常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角的范围”而导致出错的情况,稍不注意就会带来失误与错误,需要格外注意.
典例7 设向量 , ,如果向量与平行,那么与
的数量积等于( )
A. B. C. D.
分析计算能力、概括理解能力
典型例题
解析
本题通过两向量的平行,根据平面向量数量积的坐标表示,分析计算向量数量积.
由题意与平行,得,
解得,所以,所以.
D