人教A版（2019）高中数学必修第二册 《平面向量数乘运算的坐标表示》名师课件(共42张PPT)

(共42张PPT)
1.向量共线定理:
2.平面向量的坐标运算：
注:向量坐标等于终点坐标减去起点坐标
复习引入
人教A版同步教材名师课件
平面向量数乘运算的坐标表示
x
y
O
P1
P2
P
课程目标 学科素养
A.掌握向量数乘运算的坐标表示； B.会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 1.数学抽象：向量数乘运算的坐标表示；
2.逻辑推理：推导共线向量的坐标表示；
3.数学运算：由向量共线求参数的值；
4.直观想象：学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系；
5.数学模型：通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。
学习目标
探究新知
已知，能够快速求出的坐标吗？
即
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
思考一
思考二
探究新知
向量共线定理的坐标形式
如果用坐标表示，可写为
思考：两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个共线向量？
探究新知
典例讲解
由题意知：，
解得.
又
所以.
解析
∵
例2、已知当为何值时, 平行时它们是同向还是反向
解析
法一:当 时,存在唯一实数入 ,使,
即，得解得,
即当 时， ，此时，
典例讲解
∵.
法二：由题意得，，解得:.
此时.
当时, ,且方向相反.
例2、已知当为何值时, 平行时它们是同向还是反向
解析
典例讲解
方法归纳
向量共线的判定方法
①利用向量共线定理，由推出.
②利用向量共线的坐标公式直接求解.
变式训练
1. 已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3), 与是否共线 如果共线,它们的方向相同还是相反
解析
共线且方向相反.
变式训练
2.已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0)，(3,-1),(1,2),并且,求证:.
解析
设依题意有
， ，
， ， .
， ，
.又 ， .
典例讲解
例3、在△AOB中,已知点O(0,0) ,A(0,5),B(4,3) , 与交于点 ,求点的坐标.
解析
,
，则 三点共线，
易知
三点共线， ,
由①②解得
方法归纳
①寻找共线向量
②利用已知点的坐标求出共线向量的坐标
③设出待求点的坐标,用含的式子表示含有的向量的坐标
④利用共线向量的坐标表示列方程(组)
⑤解方程(组)求出点的坐标
对于利用向量共线的坐标表示求点的坐标的问题,还可以利用向量共线定理求解.
利用向量共线的坐标表示求点的坐标的步骤
变式训练
3.平面上有A(-2,1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且，连接 DC,点E在CD上,且,求E点的坐标.
解析
.
设点坐标为,则
, , ,
.设点坐标为() ,则
.
典例讲解
例4、设点若向量与共线且同向,则的值为( )
A.2 B.-2 C. D.1
解析
由已知条件得，显然.由与共线得,解得 .
当时, ,则有,满足与同向;当时, , ,则有,此时与反向,不符合题意.
因此,符合条件的只有
A
典例讲解
例5、已知向量是不共线的两个向量且，求的值.
，
∴存在实数，使得
即.
∴ ，解得：.
解析
由向量共线求参数值的方法
方法归纳
变式训练
4.已知向量，则的值等于( )
A. B. C. D.2
解析
.
A
变式训练
5.已知，则 .
解析
变式训练
6.平面内给定三个向量
( 1 )求满足的实数的值;
( 2 )若,求实数的值.
解析
，
,,
.
A
B
C
典例讲解
例6、已知试判断三点之间的位置关系.
在直角坐标系中作出三点，观察图形，猜想三点共线。
证明如下
∵
∴ .
∵直线、直线有公共点，
∴ 三点共线.
解析
典例讲解
例7、设向量当为何值时,三点共线？
由题意知：
又三点共线.
∴
得.
∴当时，三点共线.
解析
判断向量(或三点)共线的三个步骤
方法归纳
7.如图,在直角梯形中, ,过作E,M 为CE的中点,用向量法证明:
( 1 ) DE//BC;
( 2 )D,M,B三点共线.
变式训练
解析
以为原点,所在直线为轴，所在直线为轴,建立平面直角坐标系,如图,令. 四边形为正方形.各点坐标分别为
( 1 ) ，
，.
7.如图,在直角梯形中, ,过作, 为的中点,用向量法证明:
( 1 ) DE//BC;
( 2 )D,M,B三点共线.
变式训练
解析
以为原点,所在直线为轴，所在直线为轴,建立平面直角坐标系,如图,令. 四边形为正方形.各点坐标分别为
( 2 ) 为的中点，，， ，.
又与有公共点
典例讲解
例8、已知在直角坐标系平面上的四点
证明：四边形为梯形.
由题意
∴.
又,∴四边形为梯形.
证明
典例讲解
例9、已知
解析
；
不能.理由:由题意知
若四边形OABP为平行四边形,则，
典例讲解
例10、设 约定两个向量之间的运算.若,则= .
解析
设
方法归纳
在引入向量的坐标表示以后,将几何图形放到适当的平面直角坐标系中,可以把几何图形的性质转化为向量运算,这样就能进行相应的代数运算,变抽象逻辑推理为具体的向量运算,实现了“数”与“形”的有机结合,使向量运算完全代数化.这种解题方法具有普遍性,应牢固掌握.
8. 若向量,则点能否构成三角形 若能,求出实数满足的条件;若不能,请说明理由.
变式训练
解析
若点能构成三角形,则这三点不共线,由题可得
,则,解得.
所以当时,点能构成三角形.
9. 设,规定向量之间的一个运算
,已知=(1,2) ,=(-4,-3) ,则= ( )
A.(2,1) B.(-2,1) C.(2,-1) D.(-2,-1)
变式训练
解析
设，则
.
B
例11、设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
。
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
x
y
O
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
P
(1)
M
中点坐标公式：
)
2
,
2
(
2
1
2
1
y
y
x
x
+
+
典例讲解
x
y
O
P1
P2
P
x
y
O
P1
P2
P
例11、设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
。
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
典例讲解
解:
x
y
O
P1
P2
P
拓 展
你能根据前面的结论推导三角形的重心坐标公式吗？
A
B
C
E
F
D
G
则点G的坐标为
的三个顶点的坐标分别为
点G为重心，
拓 展
典例讲解
例12、已知点点在圆上运动，
求的重心的轨迹方程.
设的重心为则
解得： (1)
又因点在圆上运动,所以
将(1)式代入(2)式得：
所以的重心的轨迹方程为.
解析
素养提炼
素养提炼
当堂练习
1.已知则 =( )
A.(3,0) B.(2,1) C.(3,3) D.(3,3)
2.若三点，则B，则 ( )
A. 1 B. 3 C. D. 51
D
B
3.已知，且// ， 等于 ( )
A.(5, 10) B.(4, 8) C.(3, 6) D.(2, 4)
4.已知点，若，则 点P的坐标是__________.
B
归纳小结
作 业
课本35页 练习：1、2、3、5