人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.3.5　平面向量数量积的坐标表示课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
一
二
一、平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
1.思考
(1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,i,j对应的坐标分别是什么 i2,j2,i·j,j·i如何计算
提示i=(1,0),j=(0,1),i2=1,j2=1,i·j=0,j·i=0.
(2)已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢
提示∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,
∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)
=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2.
又∵i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0,
∴a·b=x1x2+y1y2.
(3)两个互相垂直的非零向量a,b之间有什么关系
提示a⊥b a·b=0.
一
二
2.填空
(1)平面向量数量积的坐标表示
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b x1x2+y1y2=0.
3.做一做:
(1)若向量a=(4,-2),b=(-1,-6),则a·b=　　　　　.
(2)若向量a=(3,x),b=(2,-6),且a⊥b,则x=　　　　　.
答案:(1)8　(2)1
解析:(1)a·b=4×(-1)+(-2)×(-6)=8.
(2)因为a⊥b,所以a·b=0,即3×2+(-6)x=0,解得x=1.
一
二
二、平面向量的模与夹角的坐标表示
1.思考
(1)若a=(x,y),那么a·a的结果是什么
提示a·a=(x,y)·(x,y)=x2+y2.
(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),如何表示向量a 怎样表示|a|
(3)设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何由向量的数量积公式求这两个向量的夹角
一
二
2.填空
一
二
3.做一做
(1)设a=(-2,3),则|a|=　　　　　;
(2)若a=(4,-3),b=(-8,-6),则a,b夹角的余弦值等于　　　　　;
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
数量积的坐标运算
角度1　数量积的基础坐标运算
例1已知向量a=(-1,2),b=(3,2).
(1)求a·(a-b);
(2)求(a+b)·(2a-b);
(3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c).
分析根据坐标运算法则,结合数量积的运算律进行计算.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
解:(1)方法一:∵a=(-1,2),b=(3,2),
∴a-b=(-4,0).
∴a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4.
方法二:a·(a-b)=a2-a·b
=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.
(2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),
2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),∴(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.
(3)(a·b)c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)
=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1).
a(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]
=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
角度2　数量积的坐标运算在几何图形中的应用
分析可利用向量分解的方法,将 用基底表示,然后利用运算律计算求解,也可建立平面直角坐标系,利用坐标运算求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
答案:(1)B　(2)C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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探究一
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探究一
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探究三
思维辨析
随堂演练
利用坐标运算解决模的问题
例3已知向量a=(1,2),b=(3,-1).
(1)求|a-2b|;
(2)求与a垂直的单位向量;
(3)求与b平行的单位向量.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
探究一
探究二
探究三
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随堂演练
变式训练2若向量a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a+b|的最小值为(　　)
答案:C
探究一
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随堂演练
利用坐标运算解决夹角与垂直问题
例4已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.
(1)求b与c;
(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.
分析(1)根据两向量平行与垂直的条件建立方程求解;(2)根据两向量的夹角公式求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
解:(1)因为a∥b,所以3x=4×9,即x=12.
因为a⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3.
故b=(9,12),c=(4,-3).
(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),
n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).
设m,n的夹角为θ,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 解决向量夹角问题的方法及注意事项
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
延伸探究 本例中,其他条件不变,若向量d=(2,1),且c+td与d的夹角为45°,求实数t的值.
解:由已知得c=(4,-3),
所以c+td=(4,-3)+t(2,1)=(2t+4,t-3),
探究一
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思维辨析
随堂演练
判断图形形状时考虑不全面致误
典例已知A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),判断由此四点构成的四边形的形状.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
易错探因 判断图形形状时,要全面考虑各种可能.本题由坐标运算得到 ,可以判断对边平行且相等,容易直接判断图形为平行四边形而致错.此时还需要进一步分析图形是否为矩形、菱形、正方形等特殊的平行四边形.如本题中进一步对邻边位置关系及长度关系分析,可知邻边垂直但不相等,所以四边形为矩形.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
答案:D
2.(2019北京高考)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=　　　　　.
答案:8
解析:∵a=(-4,3),b=(6,m),a⊥b,
∴a·b=0,即-4×6+3m=0,即m=8.
探究一
探究二
探究三
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3.已知a=(1,2),b=(-2,n),且a⊥b,则|3a+b|=　　　　　.
答案:5
解析:因为a⊥b,所以-2+2n=0.
于是n=1,因此a=(1,2),b=(-2,1),
所以3a+b=(1,7),故|3a+b|=5 .
4.已知a=(m,6),b=(2,1),向量a与向量b的夹角是锐角,则实数m的取值范围是　.
答案:m>-3,且m≠12
解析:∵向量a与向量b的夹角是锐角,
∴a·b=2m+6>0,即m>-3.
∴m>-3,且m≠12.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
5.(2019四川广元高一检测)已知向量a=(1,2),b=(-3,4).
(1)求|3a-b|的值;
(2)若a⊥(a+λb),求λ的值.
解:(1)因为向量a=(1,2),b=(-3,4),则3a-b=(6,2),则|3a-

(2)因为向量a=(1,2),b=(-3,4),则a+λb=(1-3λ,2+4λ),若a⊥(a+λb),则a·(a+λb)=1×(1-3λ)+2×(2+4λ)=5+5λ=0,解得λ=-1.