人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.3.1　平面向量基本定理__6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示(共32张PPT)

(共32张PPT)
6.3.1　平面向量基本定理
6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
一
二
　一、平面向量基本定理
1.思考
(1)如图,已知向量e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,给定向量a,请将a分解为与e1,e2平行的两个向量.
一
二
一
二
(2)既然a可以分解成与e1,e2平行的两个向量,那么a是否可以用含有e1,e2的式子表示出来
(3)a=λ1e1+λ2e2中的一对实数λ1、λ2是否唯一 　
提示由作图中分解结果的唯一,决定了两个分解向量的唯一.由共线向量定理可知,有且只有一个实数λ1,使得 =λ1e1成立,同理λ2也唯一,即一组数λ1、λ2唯一确定.即任一向量a都可以唯一表示成λ1e1+λ2e2的形式.
一
二
2.填空:平面向量基本定理　
一
二
　3.做一做
下列说法正确的是(　　)
A.平面内的任一向量a,都可以用平面内的两个非零向量e1,e2线性表示
B.当a与两个不共线的非零向量e1,e2之一平行时,a不能用e1,e2线性表示
C.零向量可以作为基底中的向量
D.平面内的基底是不唯一的
答案:D
解析:根据平面向量基本定理可知,只要是不共线的两个向量就可以作为基底,因此基底是不唯一的.
一
二
二、平面向量的正交分解及坐标表示
1.思考
(1)我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢
提示如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj.
一
二
一
二
一
二
2.填空
(1)平面向量的正交分解
把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
(2)平面向量的坐标表示
①基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.
②坐标:对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做向量a在 x轴上的坐标,y叫做向量a在 y轴上的坐标.
③坐标表示:a=(x,y)就叫做向量的坐标表示.
④特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
一
二
3.做一做
在平面直角坐标系中,若i,j是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,且a=2i-6j,b=5j,c=-4i,则向量a,b,c的坐标分别是　　　　　,　　　　　,　　　　　.
答案:(2,-6)　(0,5)　(-4,0)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
对平面向量基本定理的理解
例1给出下列命题:
①若向量e1,e2不共线,则空间中的任一向量a均可表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R);
②若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2线性表示;
③若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式;
④若向量e1,e2是一组基底,则e1+e2与e1-e2也可以作为一组基底.
其中正确命题的序号是　　　.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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答案:④
解析:①错误.当e1,e2不共线时,平面向量可用e1,e2唯一地线性表示,但空间中的向量则不一定.
②错误.零向量也可以用一组基底来线性表示.
③错误.当e1,e2共线时,平面内的有些向量可以表示为λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,有些向量则不可以.
④正确.当e1,e2不共线时,e1+e2与e1-e2一定不共线,可以作为基底.
反思感悟 平面向量基本定理的四个要点
①不共线的向量e1,e2;
②平面内的任意向量a;
③存在唯一一对实数λ1,λ2;
④a=λ1e1+λ2e2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
变式训练1如图,设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,有下列向量组: .其中可作为该平面内的其他向量的基底的是(　　)
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
答案:B
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平面向量基本定理的应用
例2在△ABC中.
分析根据平面向量基本定理,结合向量的三种线性运算进行求解.
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反思感悟 用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.
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向量的坐标表示
例3(1)已知i,j分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,a=3i-2j,b=-i+5j,求向量a+4b的坐标.
(2)已知边长为2的正三角形ABC,顶点A为坐标原点,AB边在x轴上,点C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量 的坐标.
分析(1)将a+4b先用i,j表示,再转化为坐标的形式;(2)先求出点A,B,C,D的坐标,再根据点的坐标与向量坐标的关系求出向量坐标.
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解:(1)因为a=3i-2j,b=-i+5j,
所以a+4b=(3i-2j)+4(-i+5j)=3i-2j-4i+20j=-i+18j,因此向量a+4b的坐标为(-1,18).
(2)如图,正三角形ABC的边长为2,
则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos 60°,2sin 60°),
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反思感悟 求平面向量坐标的方法
(1)若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标即为(x,y).
(2)向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标,只有当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.
(3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.
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巧用直线的向量参数方程式解题
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答案:C
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1.设{e1,e2}是平面内一个基底,则(　　)
A.零向量不能用e1,e2表示
B.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在该平面内
C.对平面内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对
D.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0
答案:D
解析:由平面向量基本定理可知D项正确,这是由于0=0e1+0e2,而λ1,λ2是唯一的,所以λ1=λ2=0.
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2.已知 =(-2,4),则下面说法正确的是(　　)
A.点A的坐标是(-2,4)
B.点B的坐标是(-2,4)
C.当B是原点时,点A的坐标是(-2,4)
D.当A是原点时,点B的坐标是(-2,4)
答案:D
解析:由任一向量的坐标的定义可知,当点A是原点时,点B的坐标是(-2,4).
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答案:A
4.已知e1,e2不共线,且a=ke1-e2,b=e2-e1,若{a,b}不能作为基底,则k等于　　　　　.
答案:1
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答案:3
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