人教A版（2019）高中数学必修第二册 《平面向量数量积的坐标表示》名师课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
已知：,求：
;
;
.
对于两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,即：
那么怎样用和的坐标表示？
复习引入
人教A版同步教材名师课件
平面向量数量积的坐标表示
学习目标
学 习 目 标 核心素养
能用坐标表示向量的数量积,并求两个平面向量的夹角. 数学运算
通过本节的学习,体会基底法和坐标法各自的优点,能够合理选择不同的方法解决问题. 直观想象
通过数形结合,理解向量平行与垂直的坐标表示的区别. 数学抽象
如图， 是x轴上的单位向量，是y轴上的单位向量，
x
y
o
B(x2,y2)
A(x1,y1)
1
1
0
探究1、平面向量数量积的坐标表示
探究新知
设两个非零向量=(x1,y1), =(x2,y2),则
探究新知
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
　　根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。
x
y
o
B(x2,y2)
A(x1,y1)
即
探究新知
探究2、向量的模和两点间的距离公式
探究新知
（1）向量的模
若，则，或；
（2）两点间的距离公式
如果表示向量的起点和终点坐标分别为,则
（1）垂直
探究3、两向量垂直和平行的坐标表示
探究新知
探究3、两向量垂直和平行的坐标表示
探究新知
（2）平行
探究4、两向量夹角公式的坐标运算
探究新知
典例讲解
例1、( 1 )已知向量=(1,2),,且 ,则x的值等于( )
( 2 )已知=(2,-1),若存在向量c,满足,则向量=___.
解析
( 1 )因为=(1,2),所以，解得
( 2 )设，因为，所以
解得所以=
方法归纳
1.进行向量的数量积运算时,通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,然后直接进行数量积的坐标运算;二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开,再依据已知条件计算.
2.对于以平面图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解.
变式训练
1. 已知点A,B ,C满足5,求的值.
解析
由题意知
.
,
,
,
解法一：如图，建立平面直角坐标系.则 ,
变式训练
1. 已知点A,B ,C满足5,求的值.
解析
由题意知
解法二：，
-25.
典例讲解
例2、( 1 )设,则
A. B. C.2 D.10
( 2 )已知点A( 1,-2) ,若向量与=( 2,3)同向, = 2 ,则点B的坐标是______.
解析
( 2 )由题意可设，又，
，解得=2或=-2(舍去).
B
方法归纳
1.利用公式,其中;
2.利用公式,其中.
求坐标表示的向量的模的一般方法
变式训练
2.已知向量,向量则的最大值为______.
解析
由题意知：
则
当且仅当时, 取得最大值2+.
2+
典例讲解
例3、已知向量a= (3,2) ,b=(-1 ,2).
( 1 )求的值;
( 2 )
解析
( 2 )依题意得，
，
解得.
( 1 )由已知得=( 1,6), .
方法归纳
解决向量垂直的相关题时,应充分利用结论 .利用向量数量积的坐标表示可使两向量垂直的条件代数化,因而使判定方法更加简捷,在以后解题中要灵活应用.
变式训练
3.设a=(1,2) ,b= (1,1) ,c =a+kb.若,则实数k的值等于( )
解析
c =a+kb ，解得.
典例讲解
例4、已知,求向量与的夹角.
解析
，
的夹角为.
， ，即与的夹角为.
方法归纳
.
坐标法求向量夹角的步骤
变式训练
4. 已知向量
( 1 )试计算及的值;
( 2 )求向量与夹角的余弦值.
解析
由题意可得.
,
.
的夹角为，则
故向量与夹角的余弦值为.
典例讲解
例5、已知向量a=(k,1),b=(-2,2),且与的夹角为锐角,求实数k的取值范围.
解析
与的夹角为锐角,
a · b>0,即-2k+2>0,解得k<1.
又当与共线时,2k+2=0,解得k =-1，
此时与同向,a · b>0, k=-1应排除.
实数k的取值范围为
方法归纳
依据两向量夹角的情况,求向量坐标中的参数时，需注意：
当时,满足,若已知夹角为锐角,则应排除此情况；
当时,,满足,若已知夹角为钝角,则应排除此情况.
变式训练
5. 设的夹角为，求实数的值.
解析
.
又， ，
，
化简得,解得=1或.经检验= 1不符合题意，
实数的值为
典例讲解
例6、以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,使B=90°,求点B和向量的坐标.
解析
，
即解得
点坐标为. 或
方法归纳
利用向量的坐标运算解决平面图形问题，常见的题型及求解策略
( 1 )求点的坐标:设出所求点的坐标,利用终点坐标与起点坐标的差得到向量的坐标,根据向量间的关系求解.
( 2 )证明两线段垂直:证明两线段所对应的向量的数量积为零即可.
( 3 )求线段的长度:求出线段所对应的向量的坐标即可求模.
变式训练
6、已知.若是以为直角顶点的等腰直角三角形,求向量的坐标.
解析
设向量根据题意，得
, ,
又，
解得或
典例讲解
例7、已知
解析
，
,
方法归纳
先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等) ,将问题转化为三角函数的有关问题(如化简、求值、证明等) ,再利用三角函数的相关知识求解即可,解决这类问题时应注意充分挖掘题目中的隐含条件,使问题得到快速解决.
解决平面向量数量积与三角函数的综合问题的基本思路
变式训练
7、已知向量，则( )
解析
.
D
当堂练习
1.已知向量 ，则 ( )
A. 12 B. 6 C.6 D.12
D
2.平面向量为, ,则等于( )
A. B. 2 C.4 D.12
3.已知向量若2与垂直，则( )
A. B. C.2 D.4
4.已知平面向量,，则( )
A. B. C. D.
B
C
C
归纳小结
平面向量数量积的坐标
平面向量数量积的坐标表示
平面向量长度(模)的坐标表示
平面向量垂直的坐标表示
平面向量夹角的坐标表示
作 业
课本36页 习题6.3:8、9、10