人教A版（2019）高中数学必修第二册 《平面向量的正交分解及加、减运算的坐标表示》名师课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
复习引入
平面向量的基本定理
其实质：同一平面内任一向量都可以用两个不共线向量来表示.
=
人教A版同步教材名师课件
平面向量的正交分解及加、减运算的坐标表示
学习目标
学 习 目 标 核心素养
通过平面向量基本定理及正交分解,可以导出平面向量的坐标表示,利用向量的加、减法及数乘运算法则,会导出平面向量的加、减法及数乘运算的坐标表示. 数学抽象
掌握向量的三种表示方法:几何表示法、字母表示法、坐标表示法. 直观想象
理解向量的坐标运算是一种代数运算,其加、减及数乘的实质是坐标之间的运算. 逻辑推理
如图,光滑斜面上一个木块受到的重力为　,下滑力为　,木块对斜面的压力为　,这三个力的方向分别如何？
三者有何相互关系？
探究新知
　　重力　产生两个效果,一是木块受平行于斜面的力的作用　,沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力　.也就是说,重力　的效果等价于　和　的合力效果,即　
探究新知
　　在物理中,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论.
探究新知
　　把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
平面向量的正交分解
探究新知
　　如图,向量　　是两个互相垂直的单位向量,向量　与　的夹角是30°,且　　　,以向量　　为基底,向量　如何表示？
B
O
A
P
向量的正交分解
探究新知
如图, 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量,C（1,2）,D（3,5）
若以 为基底,则 =
坐标系中向量的正交分解
探究新知
如图, 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量,若以 为基底,则
平面向量的坐标表示
探究新知
思考：
如图
O
x
y
A
那么如何用基底
来表示 呢？
结论：向量发生平移,对应系数不变
探究新知
①
其中,x叫做 在x轴上的坐标,y叫做 在y轴上的坐标,①式叫做向量的坐标表示.
　　这样,平面内的任一向量　 都可由x,y唯一确定,我们把（x,y）叫做向量 的（直角）坐标,记作
探究新知
如图, 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量,C（1,2）,D（3,5）
若以 为基底,则 =
平面向量的坐标表示
（1,0）
（0,1）
（0,0）
特别地：
探究新知
概念理解
O
x
y
A
1．以原点O为起点作 ,点A的位置是唯一确定的吗？由谁确定
由　唯一确定.
探究新知
2．点A的坐标与向量　的坐标的关系？
两者相同
向量　
坐标（x ,y）
一 一 对 应
O
x
y
A
探究新知
1
2
3
4
－1
－5
－2
－3
－4
x
y
5
0
1
2
3
4
－1
－2
－3
o
若已知 =（1 ,3） , =（5 ,1）,
a
b
如何求 + , －- 的坐标呢？
a
b
a
b
a
b
C
（6,4）
－ =（x1－x2 ,y1－y2）
b
a
（x1,y1）
（x2,y2）
＋
b
a
=（x1 +y1 ）
+（x2 +y2 ）
=（x1 + x2 ） + ( y1+ y2 )
猜想：
＋ =（x1＋x2 ,y1＋y2）
b
a
证明：
=（x1 , ） + ( , y2 )
=（x1 +y1 ）
+（x2 +y2 ）
重点
？
已知两个向量的坐标如何求它们和向量与差向量的坐标呢
探究新知
平面向量的坐标运算法则
结论：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.
探究新知
探究：将表示向量的有向线段的起点放在坐标原点后有何结论呢？
a
x
y
o
A
1
2
3
1
2
3
结论：以原点O为起点的向量
OA的坐标与点A的坐标相同
此时向量坐标就由这条有向线段的终点坐标唯一确定了.
A(2,3)
探究新知
已知 ,求 的坐标.
O
x
y
B(x2,y2)
A(x1,y1)
结论:一个向量的坐标等于表示此向量的终点的坐标减去始点的坐标。
问题:若已知点A、点B的坐标,如何求向量AB的坐标呢？
探究新知
典例讲解
例1、用基底分别表示向量并求出它们的坐标.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
A
B
1
2
-2
-1
x
y
4
5
3
典例讲解
方法归纳
1.在同一直角坐标系内画出下列向量.
1
2
-1
3
变式训练
解析
例2、已知O是坐标原点,点A在第一象限,||＝4,∠xOA＝60°,
(1)求向量的坐标；
(2)若B(,－1),求的坐标．
(1)设点A(x,y),则x＝ || cos 60°＝4cos 60°＝2,
y＝ || sin 60°＝4sin 60°＝6,
即A(2,6),所以＝(2,6)．
(2) ＝(2,6)－(,－1)＝(,7)．
典例讲解
解析
方法归纳
(1)在求一个向量时,可以首先求出这个向量的起点坐标A(x1,y1)和终点坐标B(x2,y2),则＝(x1,y1),＝(x2,y2),＝－＝(x2,y2)－(x1,y1)＝(x2－x1,
y2－y1)．
(2)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
[注意]　点的坐标不能直接参与向量的坐标表示及运算．
求点和向量坐标的常用方法
2.如图,取与x轴、y轴同向的两个单位向量i,j作为基底,分别用i,j表示并求出它们的坐标．
变式训练
由图形可知,＝6i＋2j,＝2i＋4j,＝－4i＋2j,它们的坐标表示为＝(6,2), ＝(2,4), ＝(－4,2)．
解析
例3、(1)已知点A(0,1),B(3,2),向量＝(－4,－3),则向量＝(　　)
A．(－7,－4)　　B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4)
(2)已知向量的坐标分别是(－1,2),(3,－5),求的坐标．
典例讲解
(1)法一：设,则＝(－4,－3),所以从而
法二：
(2) ＝(－1,2)＋(3,－5)＝(2,－3),＝(－1,2)－(3,－5)＝(－4,7),
＝3(－1,2)＝(－3,6),＝2(－1,2)＋3(3,－5)＝(－2,4)＋(9,－15)＝(7,－11)．
解析
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.
平面向量坐标(线性)运算的方法
方法归纳
3.(1)已知向量＝(2,1),＝(1,－2),若m＋nm,n∈R),则m－n的值为________．
(2)已知A(2,－4),B(－1,3),C(3,4),若＝2＋3,求点M的坐标．
变式训练
(1)因为 m＋n＝(2m＋n,m－2n)＝(9,－8),
所以所以所以m－n＝2－5＝－3.故填－3.
(2)由A(2,－4),B(－1,3),C(3,4),得＝(2－3,－4－4)＝(－1,－8),＝(－1－3,3－4)
＝(－4,－1),
所以＝2＋3＝2(－1,－8)＋3(－4,－1)＝(－2,－16)＋(－12,－3)＝(－14,－19)．
解析
3.(1)已知向量＝(2,1),＝(1,－2),若m＋nm,n∈R),则m－n的值为________．
(2)已知A(2,－4),B(－1,3),C(3,4),若＝2＋3,求点M的坐标．
变式训练
解析
设点M的坐标为(x，y)，则＝(x－3，y－4)．
由向量相等坐标相同可得解得
所以点M的坐标为(－11，－15)．
例4、已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),及＝ ＋t .
(1)t为何值时,点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能,求出t的值；若不能,请说明理由．
(1) ＝ ＋t ＝(1,2)＋t(3,3)
＝(1＋3t,2＋3t)．
若点P在第二象限,则
所以－＜t＜－.
若点P在x轴上,则2＋3t＝0,所以t＝－.
若点P在y轴上,则1＋3t＝0,所以t＝－.
该方程组无解．
故四边形OABP不能为平行四边形．
(2)＝(1,2),＝(3－3t,3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形,
则＝,所以
变式训练
若保持本例条件不变,问t为何值时,B为线段AP的中点？
由＝ ＋t ,得＝ t .
所以当t＝2时,＝ ,B为线段AP的中点．
典例讲解
解析
(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标,如果纵坐标或横坐标是一个变量,则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．
(2)解答这类由参数决定点的位置的题目,关键是列出满足条件的含参数的方程(组),解这个方程(组),就能达到解题的目的.
向量中含参数问题的求解策略
方法归纳
4.已知＝(－1,2),＝(1,－1),＝(3,－2),且有＝p＋q,试求实数p,q的值．
变式训练
因为＝(－1,2),＝(1,－1),
所以p＋q＝p(－1，2)＋q(1，－1)＝(－p＋q，2p－q)．
因为＝p＋q，所以解得
故p，q的值分别为1，4.
解析
素养提炼
1．向量坐标
(1)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．
(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的，对应一对实数，由于向量可以平移，故以这对实数为坐标的向量有无穷多个．
2．平面向量坐标运算的注意点
(1)要弄清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
(2)进行向量的坐标运算时，向量的始点、终点的顺序不能颠倒．
当堂练习
1.已知则下面说法正确的是( )
A.A点的坐标是(2,4)
B.B点的坐标是(2,4)
C.当B是原点时,A点的坐标是(2,4)
D.当A是原点时,B点的坐标是(2,4)
2.设平面向量则= ( )
A.(4,4) B.(5,4) C.(0,2) D.(5,3)
D
B
当堂练习
3.若向量,且A点的坐标为(2,3),则B点的坐标为 ( )
A.(2,6) B.(3,5) C.(1,1) D.(1， 1)
4.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(2,1),(1,3),(3,4),
则向量的坐标是( )
B
B
归纳小结
平面向量的坐标
表示及运算
平面向量的正交分解
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标运算
加法运算
减法运算
作 业
课本30页：练习：1、2、3