人教A版（2019）高中数学必修第二册 《平面向量基本定理》提升训练（含答案）

《平面向量基本定理》提升训练
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分第6题为多选题，选对得5分，选错得0分，部分选对得2分）
1.AD与BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
2.已知非零向量a，关于向量a的分解，有如下四个命题：
①给定向量b，总存在向量c，使；
②给定向量b和c，总存在实数和，使；
③给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使；
④给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使.
上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则正确命题的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
3.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且,连接CF并延长交AB于点E，则等于（ ）
A.
B.
C.
D.
4.如图，在四边形ABCD中，为BC边的中点，且，则（ ）
A.
B.
C.1
D.2
5.如图，在△ABC中，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（ ）
A.
B.2
C.
D.
6.（多选）D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且，下列结论正确的为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
7.设a与b是两个不共线的向量，已知，若A、B、D三点共线，则实数k的值为_________.
8.△ABC中，点M在BC边所在的直线上，且满足，设，以作为一个基底，则_________.
三、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）
9.设是不共线的非零向量，且.
（1）证明：可以作为一个基底；
（2）以为基底，求向量的分解式；
（3）若，求实数的值.
10.平面内有一个△ABC和一点O（如图），线段OA、OB、OC的中点分别为E、F、G，BC、CA、AB的中点分别为L、M、N，设.
（1）用a、b、c表示向量；
（2）证明：线段交于一点且互相平分.
参考答案
一、选择题
1.
答案：B
解析：设AD与BE的交点为F，
则F为△ABC的重心，
所以.由，得，所以.故选B.
2.
答案：B
解析：利用向量加法的三角形法则，易得命题①正确；利用平面向量基本定理，易得命题②正确；当为a与b的夹角）时，不存在符合题意的单位向量c和实数，故命题③错误；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，得，故命题④错误故选B.
3.
答案：D
解析：设.
，
.
.
三点共线，
存在实数m，使，
即.
不共线，
解得，即.
4.
答案：C
解析：由题意得
.
，
.
与不共线，
.
故选C.
5.
答案：D
解析：由题图知x，y均为正数，设四点共线，
，
，
则的最小值为，故选D.
6.
答案：ABC
解析：如图，，A正确；
，B正确；
，C正确；
，D不正确.故选ABC.
二、填空题
7.
答案：
解析：由于，则，
.
由于三点共线，
则可设，
即.
是两个不共线的向量，
可得
8.
答案：或
解析：由，得或，故点M在BC边上或在CB的延长线上.当点M在BC边上时，，因为，所以，
所以.
当点M在CB的延长线上时，，故，
所以.
综上，或.
三、解答题
9.
答案：见解析
解析：（1）证明：若a，b共线，
则存在，使，
则.
由不共线，
得
不存在，故a与b不共线，可以作为一个基底.
（2）设，
则
.
不共线，
解得
.
（3）由，
得
.
不共线，
解得
故实数的值分别为3，1.
10.
答案：见解析
解析：（1），
.
同理，.
（2）证明：设线段EL的中点为，则.
设FM，GN的中点分别为，同理可求得，
，
三点重合，
即线段交于一点且互相平分.
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