人教A版（2019）高中数学必修第二册 《6.3平面向量的基本定理》教学设计二

《平面向量的基本定理》教学设计二
教学设计
情境导入
七个音符谱出千支乐曲，二十六个字母写就百态文章!
在多样的平面向量中,我们能否找到它的“基本音符”呢
设计题图:通过设计情境问题,激发学生的好奇心,吸引学生的学习兴趣.
二、新知探究
问题1:给定一个非零向量a,允许做线性运算,你能写出多少个向量
教师提问,学生思考,讨论,回答.
问题2:给定两个非零向量e1,e2,允许做线性运算,如何写出尽量多的向量
教师提问,学生思考,讨论,回答.
(1)e1 ∥e2,通过线性运算会得到的形式,本质上它们表示的都是e1的数乘.
(2)e1,e2不共线,通过线性运算会得到,它表示的是什么向量
教师提问并作出几个向量
学生思考,讨论,回答.
只要给定入，和入:的值,我们就可以作出向量,本质上是e1的数乘和e2的数乘的合成.随着取值的变化,可以合成平面内无数多个向量.
问题3:那么我们能否这样认为:平面内的任何一个向量都可以由e1和e2来合成呢
教师提问,学生思考,讨论,回答.
我们在平面内任取一个向量a,看看它能否由e1和e2来合成,也就是能否找到这样的，使a=
这个问题可简述为:平面内有两个不共线的向量e1和e2，平面内的任意一个向量能否用这两个向量来表示
思考探究:根据探寻的目标a=,结合上面向量合成的做法,显然α就应该是合成后的平行四边形的对角线,而平行四边形两边应该是e1和e2所在的直线,因此,只要作出这个平行四边形,问题就迎刃而解了.
如图所示,在平面内任取点O, 作平行四边形ONCM,则
由向量共线定理可得，存在唯一的实数.
存在唯一的实数.即存在唯一的实数对,使得
强调:向量a的任意性e1,e2不共线、系数的存在性与唯一性.
讨论探究:同学们能否总结出平面向量基本定理的内容
平面向量基本定理:如果e1e2。是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数入1,入:,使α=.
这里我们发现平面内的任意两个不共线向量e1,e2就类似于音乐中的7个音符,类似于英文中的26个字母.
若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
思考讨论下列问题:由平面向量基本定理,可知
(1)什么样的两个向量可以作为平面内所有向量的一个基底
提示:不共线的两个向量.
(2)一个平面的基底是唯一的吗 提示:不唯一,可以有无数多个.
(3)当平面的基底给定时,任一向量a的分解形式是唯一的吗
提示:由向量共线定理可知:唯一确定.
三、例题讲解
例1
思考:由例1的最后结果,你可以得出什么结论 并进行验证.
学生分组进行讨论,思考,并总结.
例2 如图,CD是△ABC的中线, CD=AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形.
分析:由平面向量基本定理可知,任一向量都可由同一个基底表示.本题可取,为基底,用它表示直角三角形.
于是△ABC是直角三角形.
例3 如图，平行四边形ABCD两条对角线相交于点
=n. 试用基底m,n表示.
师生共同分析，然后完成解题过程.
四、课堂检测
（ ）
A.3 B.-3 C.0 D.2
2. 2如图，已知梯形ABCD，AB∥CD，且AB=2DC，M，N分别是DC，AB的中点., 试用a，b表示向量
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些新的收获？
五、布置作业
教材第27页练习第1，2，3题
板书设计
6.3.1 平面向量基本定理 平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数A1，A2，使a=A1e1+2e2若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 例1 例2 例3 小结 作业
教学研讨
本案例问题导入比较具有吸引力，能够激发学生学习的欲望.本案例主要采用学生自主学习来完成，主要通过问题来贯穿本节内容，通过讨论，总结，得出问题答案，整个过程教师主要起到了引导作用在例题中，除了教材上两个例题，又增加了一个关于向量表示的例题以及它的变式，可以更好地巩固本节内容.
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