人教A版（2019）高中数学必修第二册 《6.3平面向量的正交分解及坐标表示》知识解读

《平面向量的正交分解及坐标表示》知识解读
1.平面向量的正交分解
（1）给定平面内两个不共线的向量，由平面向量基本定理知，平面上的任意向量a，均可分解为两个向量和，即，其中向量与共线，向量与共线.
（2）不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解.
此时，这两个互相垂直的向量组成的基底为正交基底.
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正交分解是平面向量基本定理的特殊形式，就是在正交基底下分解向量.正交分解是向量分解中常见的一种情形.
2.平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j取作为基底.对于平面内的任意一个向量a，如图，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序实数对叫作向量a的坐标，记作，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标，叫作向量a的坐标表示.给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系.
3.平面向量与有序实数对的对应关系
如图所示，在直角坐标平面中，以原点O为起点作，则点A的位置由向量a唯一确定.
设，则向量的坐标就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示.
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（1）点的坐标与向量的坐标的区别与联系：点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，其仅仅由大小和方向决定，与位置无关.只有起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标才相等.
（2）在平面直角坐标系下有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量.为加以区分，常说点或向量.
（3）几个特殊向量的坐标：.
（4）由向量的坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中.
（5）要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，例如，若，则；若，则，显然四点坐标各不相同.
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