人教A版（2019）高中数学必修第二册 《6.3平面向量基本定理及坐标表示》教材分析

6.3平面向量基本定理及坐标表示
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：平面向量基本定理、平面向量的坐标表示及平面向量运算的坐标表示.
难点：平面向量基本定理唯一性的证明.
三、教科书编写意图及教学建议
教科书首先通过力的分解引出平面向量基本定理，给出平面向量基本定理的证明，运用平面向量基本定理解决简单问题；然后，通过平面向量基本定理引出向量的正交分解，借助平面直角坐标系，给出向量的坐标表示；最后，介绍向量的加减运算、数乘运算、数量积的坐标表示，并用坐标表示两个向量共线、向量垂直的条件及两个向量的夹角.
平面向量基本定理揭示了平面内任一向量与两个不共线向量的联系，给学生以结构上的认识，同时建立平面向量与有序数对的对应，引出平面向量的坐标表示.在上述基础上研究平面向量运算的坐标表示，就把向量运算转化为数量运算.
在本节内容的教学过程中，突出平面向量基本定理、平面向量的坐标表示及平面向量运算的坐标表示等重点内容，突破平面向量基本定理唯一性的证明的难点，有助于提升学生数学运算与逻辑推理素养.
6.3.1平面向量基本定理
本节首先由向量的概念和运算得出平面向量基本定理.平面向量基本定理是平面向量中的重要内容.此定理表明平面内的任一向量可以由同一平面内的两个取定的不共线向量表示，而且表示式是唯一的.因而向量的运算可以归结为两个取定的不共线向量的运算，这为利用向量运算解决问题带来了方便.由此定理还可引出向量的坐标的概念，进而引出向量运算的坐标表示.
1.平面向量基本定理
平面向量基本定理告诉我们，同一平面内任一向量都可表示为两个取定的不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一个点都可以通过取定的两个不共线的向量得到表示.也就是说，平面内的任意一个点可以由平面内的一个点及两个取定的不共线的向量来表示，这是引进平面向量基本定理的一个原因，下面对其中的思想作一概述.
用向量表示几何元素是容易的，并且很直接.选一个定点，那么，任何一个点都可以用一个向量来表示.对于一条直线，如果我们的兴趣只在于它的方向，那么用一个与平行的非零向量就行了；如果想确定这条直线的位置，则还要在上任选一点.这样，一个点A，一个向量就在原则上确定了直线，这是对直线的一种定性刻画.如果想具体地表示上的每一个点我们需要实数k和向量的乘法，这时，上的任意一点X都可以通过点A和某个来表示.（图6-17）.希望在“实际”上控制直线，可以看作是引入的一个原因.
再来看平面.两条相交直线确定一个平面.一个定点，两个不共线的向量，b便“原则”上确定了平面，这是对平面的一种定性刻画.但在讨论几何问题时，常常涉及平面上的某一点X，为了具体地表示它，我们需要引进向量的加法.这时，平面上的点X就可以表示为（相对于定点A），这样点X就成为可操作的对象了（图6-18）.在解决几何问题时，这种表示能发挥很重要的作用.虽然向量的加法、数乘运算有非常坚实的物理背景，但当我们舍弃了这种背景而只从纯粹数学的角度来看问题的话，上述考虑可使我们看到引进相应的向量运算的理由，这可以使我们更容易接受并喜爱向量运算.
相应地，一个定点，一个向量便给出直线的“坐标系”；而一个定点，两个不共线的向量，b，就给出了平面的一个“坐标系”.类似地，空间的一个“坐标系”可以由一个定点，三个不共面的向量来给出.在这样的坐标系中，几何元素及其关系不但可以得到定量刻画，而且可以定量地表示.另外，我们可以根据面临问题的具体条件，根据解决问题的需要（自由地）选择坐标系，而且还可以在同一个平面上选择多个“坐标系.
2.平面向量基本定理的引入
教科书在上节介绍了向量的运算，由向量共线的充要条件得出：位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.类比这个结论，本节首先研究平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示.受力的分解的启发，教科书从将一个向量分解为两个向量入手研究上述问题.
3.平面向量基本定理的证明
（1）存在性
设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内任一向量，教科书分三种情况讨论是否可以由表示：是与都不共线的向量；是与或共线的非零向量；是零向量.
教科书第25页的探究栏目讨论了是与都不共线的向量的情况.首先，作,（教科书图6.3-2），然后让学生将按的方向分解，发现与的关系.可以发现，四边形OMCN是平行四边形（教科书图6.3-3），因而按的方向分解为，所以.由于与共线，与共线，因而存在实数，，使得，，所以.从而得出与都不共线的向量都可以表示成的形式.
对于是与或共线的非零向量情况，如果是与共线的非零向量，那么，可以写成，所以也可以表示成的形式；类似地，如果是与共线的非零向量，也可以表示成的形式.当是零向量时，把写成，所以同样可以表示成的形式.
综上可得，设是同一平面内两个不共线的向量，这一平面内任一向量都可以表示成的形式.
（2）唯一性
教科书进一步证明上段提到的表示形式是唯一的，其基本思路是：如果还可以表示成的形式，那么可推出.其中的关键是由推出全为0，这个结论在教科书中是用反证法来证明的.即假设不全为0，则可推出共线，这与已知不共线矛盾.从而假设不全为0不成立，所以全为0.
（3）平面向量基本定理及基底的概念.
在（1）（2）之后就可以说，有且只有一对实数，使，这就得到平面向量基本定理.然后，给出基底的概念，任意两个不共线的向量作为一个整体都可以构成一个基底.在平面内选定一个基底后，这个平面内的任意向量都可以用这个基底中的两个向量表示，因而这个平面内的向量的运算可以归结为这个基底中的两个向量的运算.教学中可以通过后续有关例题、习题让学生体会基底的作用.
4.信息技术工具的使用
教科书的旁注指出，利用信息技术工具，可以动态地展示.教学中可以按教科书给出的方法用信息技术工具作图，然后改变的方向和长度的大小，引导学生发现总成立.图6-19展示了几种情况.
5.例1、例2的教学
（1）例1中，教科书中的解答思路如下：先用表示；由于，进而用表示；由于，从而用表示.按照上述思路可以得到.
例1还可以如下解答：由于，所以.由上式可得.这个解答的思路是：用表示，从而将满足的关系式写成满足的关系式，进而用表示.
由于给出了点P在直线AB上的充要条件，因此实际上给出了直线的向量式方程.
观察，可以发现（1-t）+t=1.也就是说，不共线，当，即点P在直线AB上时，的表示式中，.反过来，不共线，的表示式中，，那么点P在直线AB上.这个结论可以证明如下：由已知得，，所以，于是，所以点P在直线AB上.
（2）例2中，用向量方法证明△ABC是直角三角形，就是要证明.本题的关键是取为基底，用表示，从而用表示，得到.再由证明.
例2还可以如下解答：如图6-20，设，则，.由，得，即.所以，即.由上式可得，所以.于是∠C=90°，即△ABC是直角三角形.
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
1.平面向量的正交分解
本小节内容以平面向量基本定理为基础.教科书首先指出，平面上给定两个不共线的向量，则任意向量均可分解为分别与它们共线的两个向量.如果这两个不共线向量互相垂直，就得到向量的正交分解的概念.教科书通过重力G沿互相垂直的两个方向分解的例子加以说明.
2.平面向量的坐标表示
教科书的思考栏目中，让学生类比在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，思考直角坐标平面内的一个向量的表示方法.
由点在平面直角坐标系中的表示得到启发，设i，j分别是与轴、轴方向相同的单位向量，以{i，j}为基底，由平面向量基本定理可知，对于直角坐标平面内的一个向量，有且只有一对实数，，使得，由此给出向量的坐标的概念.
教科书接下来通过教科书图6.3-9指出向量的坐标与点的坐标之间的联系.在直角坐标平面中，以原点为起点作，那么
（1）设，则向量的坐标就是终点A的坐标；
（2）反过来，终点A的坐标也就是向量的坐标；
（3）因为，所以终点A的坐标就是向量的坐标.
3.例3的教学
例3的关键是用基底{i，j}表示向量.教科书给出的方法是按i，j的方向分解，得到，再用i表示，用j表示，从而用i，j表示，得到的坐标.使用同样的方法，可以用i，j表示向量，得到的坐标.
还可以利用向量的坐标与点的坐标之间的联系解决这个问题：作，则点M的坐标就是的坐标.用同样的方法，可以得到的坐标.
另外，本例还可以利用四个向量之间位置的几何关系：与关于轴对称，与关于原点对称，与关于轴对称，由一个向量的坐标得出其他三个向量的坐标.具体做法是：作，则M与N关于轴对称，M与P关于原点对称，M与Q关于轴对称，求出点M的坐标，则N，P，Q的坐标分别是，从而得出的坐标.
6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示
1.本小节研究平面向量加、减运算的坐标表示.在教科书思考栏目中，已知两个向量的坐标，让学生探求这两个向量的和、差的坐标.解决这个问题的思考过程如下：已知，就可以用i，j表示，，即，
于是，.
根据向量加法的交换律、结合律，得
.
根据，得.
于是，从而得到的坐标.同理可得的坐标
2.例4是已知两个向量的坐标，求这两个向量的和、差的坐标.运用即可解决这个问题.
3.在教科书第29页的探究栏目中，让学生探究向量的坐标与表示这个向量的有向线段的起点、终点的坐标的关系.解决这个问题的关键是作向量，将点的坐标与向量的坐标统起来，并用表示.得到后，进一步运用向量减法的坐标表示.
4.例5是已知平行四边形的三个顶点的坐标，求第四个顶点的坐标，教科书给出了两种解法.
解法1利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中运用了方程思想；解法2求的坐标，从而求得顶点D的坐标：先由向量加法的平行四边形法则求得，再由求得顶点D的坐标.解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系.
由向量加法的平行四边形法则求得后，也可设顶点D的坐标为，则，然后由，也可以求得顶点D的坐标.
平行四边形的性质很多，利用不同的性质可以得到本题的不同解法，如利用平行四边形对角线互相平分就可以得到如下另一种解法：
连接AC，BD，设AC，BD相交于点P，则点P既是AC的中点，又是BD的中点.由点是AC的中点，得，同理
，所以即.于是，所以顶点D的坐标为（2，2）.
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
1.本小节研究平面向量数乘运算的坐标表示.在教科书思考栏目中，已知向量的坐标，让学生探求的坐标.解决这个问题的思考过程如下：
已知，就可以用i，j表示，即.
于是，.
根据，得.
根据，得.
于是，从而得到的坐标.
2.例6是已知两个向量的坐标，求这两个向量的线性组合的坐标.运用，即可解决这个问题.
3.在探究栏目中，让学生探究如何用坐标表示两个向量共线的条件.学生已经知道向量（≠0）共线的充要条件是存在，使.由可以得到的坐标满足的关系式.
4.在例7中，由可得的坐标满足的关系式，从而求得y的值.
5.例8是已知三点的坐标，判断这三点的位置关系.证明A，B，C三点共线，关键是将其转化为证明共线，由点A，B，C的坐标可以求出的坐标分别为（2，4），（3，6），由2×6-4×3=0，得共线.
6.例9第（1）小题是已知线段的端点的坐标，求的中点P的坐标.由点的坐标分别是，得，用表示，求得的坐标，从而求得点P的坐标.本小题实际上给出了线段的中点坐标公式.
例9第（2）小题是已知线段的端点的坐标，求的三等分点P的坐标，解题的关键也是用表示.本小题要让学生注意线段的三等分点有两个.
在例9的基础上，学生通过例9后的探究栏目求出直线上满足的点的坐标，在本题中，.这是因为假设，则，，，这与点是线段的端点矛盾.解题的思路可以如例9那样用表示，求得的坐标，从而求得点P的坐标.也可以设点P的坐标为，将用坐标表示为.
由此可得，
于是.
所以点P的坐标是.
6.3.5平面向量数量积的坐标表示
1.本小节研究平面向量数量积的坐标表示.在教科书第34页的探究栏目中，已知两个向量的坐标，让学生探求这两个向量的数量积与这两个向量的坐标的关系.解决这个问题的关键，是用i，j表示，，即；二是运用向量数量积的运算律计算·=；三是注意单位向量之间的数量积.
进一步，已知，由，得.
进而推出与表示向量的有向线段的起点和终点的坐标的关系式：表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，那么，这就是平面内两点间的距离公式.
由，，得.
2.例10是已知三点的坐标，判断以这三点为顶点的三角形的形状.在本题中，由点A，B，C的坐标得的坐标，进而算得，从而，所以△ABC是直角三角形.
3.对于非零向量，由向量数量积的定义，得，而都
可以用的坐标表示，所以可以用的坐标表示.例11是已知的坐标求及的夹角θ，直接运用相关结论即可.
4.例12是用向量方法证明两角差的余弦公式，可以引导学生按照下面的思路思考：
（1）思考的出发点是用，的正弦、余弦表示的余弦.为此，联系正弦、余弦的定义，在平面直角坐标系内作单位圆，以轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆的交点分别为A，B，用，的正弦、余弦表示点A，B的坐标，进而用，的正弦、余弦表示向量的坐标.
（2）用由（1）得到的向量的坐标表示向量的夹角的余弦.由向量数量积的坐标表示得，由向量数量积的定义得，所以.
（3）探讨与的关系，进而用表示，从而用，的正弦、余弦表示的余弦.由教科书图6.3-20得与的关系式，由此可得，所以.
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