人教A版（2019）高中数学必修第二册 《6.3平面向量基本定理及坐标表示课时1》教学设计

《平面向量基本定理及坐标表示》教学设计
课时1 平面向量基本定理
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.平面向量基本定理 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象直观想象 逻辑推理 【考查内容】 平面向量的基本定理是将未知向量用已知向量表示出来,是解决平面向量问题的理论依据,坐标表示是方便向量计算的一种有效工具,高考命题常通过数形结合将问题化归为用坐标法处理的问题,平面向量与平面几何结合起来考查是高考的常见形式 【考查题型】 选择题、填空题为主,解答题常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等内容相结合
2.平面向量的正交分解及坐标表示 数学抽象直观想象 数学运算逻辑推理
3.平面向量加、减运算的坐标表示 数学抽象直观想象 数学运算逻辑推理
4.平面向量数乘运算的坐标表示 数学抽象直观想象 数学运算逻辑推理
5.平面向量数量积的坐标表示 数学抽象直观想象 数学运算逻辑推理
一、本节内容分析
平面向量基本定理是衔接本章向量几何运算与代数运算内容之间的桥梁,它揭示了平面向量的基本关系和基本结构,是学习向量坐标表示及空间向量基本定理的基础.因此,本节内容在向量知识体系中具有核心地位和承上启下的作用.
本节内容首先通过力的分解引出平面向量基本定理,给出平面向量基本定理的证明,运用平面向量基本定理解决简单问题;然后通过平面向量的正交分解,借助平面直角坐标系,给出向量的坐标表示;最后,介绍向量的加减运算、数乘运算、数量积的坐标表示,并用坐标表示两个向量共线、向量垂直的条件及两个向量的夹角.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.平面向量基本定理 2.平面向量的正交分解及坐标表示 3.平面向量加、减运算的坐标表示 4.平面向量数乘运算的坐标表示 5.平面向量数量积的坐标表示 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 核心素养
二、学情整体分析
虽然已经学面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算,但学生对向量之间关系的认识还只是停留在“一维”层面,而平面向量基本定理揭示的是“二维”层面的平面向量之间的关系,这对学生有一定难度,所以要实现这种认识层级的跃迁,教学中应多举实例,带领学生去“发现”定理,并学会向量的坐标表示,而且平面向量基本定理中的“不共线”“任意”“有且只有”等数学专用语对学生会构成理解障碍,在教学中应通过具体形象的教学手段进行直观阐释、辨析,帮助学生理解定理.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.平面向量基本定理
2.平面向量的正交分解及坐标表示
3.平面向量加、减运算的坐标表示
4.平面向量数乘运算的坐标表示
5.平面向量数量积的坐标表示
【教学目标设计】
1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4.能用坐标表示向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.
【教学策略设计】
首先,通过教师提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.
其次,借助多媒体进行教学.整节课的教学主线以学生练习为主,教师给予引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学、领悟思想方法的最好载体.学生经历的这种实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.
【教学方法建议】
情境教学法、直观教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.平面向量基本定理及其意义.
2.平面向量的坐标表示.
3.平面向量运算的坐标表示.
难点 平面向量基本定理唯一性的证明.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:向量的加法运算有什么运算法则呢
生:(1)三角形法则:作平移,首尾连,由起点指终点.
(2)平行四边形法则:作平移,共起点,四边形,对角线.
师:平面中的非零共线向量该如何表示
生:向量与共线的充要条件是:存在唯一一个实数,使.
师:根据以上的两个问题,你有什么猜想
生:平面内任一向量可以由同一平面内的两个不共线向量表示.
师:通过上节向量的运算,我们知道位于同一直线的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.类似地,平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢
【设计意图】
设置问题情境,回顾旧知,激发学生学习兴趣,并引出本节新课.以问题情境激发学生的兴趣,蕴含本课时的设计主线,即从向量共线定理的“一维”关系转向研究平面向量基本定理“二维”关系
教学精讲
探究1 平面向量基本定理
师:我们知道,已知两个力,可以求出它们的合力;反过来,一个力可以分解为两个力.物理中我们根据什么方法进行力的分解
生:平行四边形法则.
师:由此我们推断出可以通过作平行四边形,用同一平面内的两个不共线的向量表示平面内任一向量.
【以学定教】
利用力的分解探究得出平面向量基本定理,以物理问题为情境引发学生思考,同时根据向量知识启发学生,引出新课,加深知识间的联系,培养学生探索的精神.
【情景设置】
探究平面向量基本定理
如图(1),设是同一平面内两个不共线的向量,是这一平面内与都不共线的向量,如图(2),在平面内任取一点,作.
(1)将按的方向分解,你有什么发现
(2)若向量是这一平面内与中的某一个向量共线的非零向量,还能用表示吗 是零向量呢
【学生分组交流,教师点拨,学生展示交流成果】
生:(1)因为不共线,与都不共线,过点分别作与平行的直线,与分别交于点,由向量数乘运算知存在实数,使,所以.
(2)若与共线,存在,且,使;
若与共线,存在,且,使;
若,存在,使.
综上所述,当不共线时,平面内任一向量都能用向量表示.
师:如果共线,还会有上面的结论吗
生:当共线时,如果与也共线,则可以用表示;若与不共线,则不能用表示.所以给定两个不共线向量,平面内任一向量都能用形如的向量表示.
师:给定两个不共线向量,平面内任一向量都能用形如的向量表示,这种表示形式是唯一的吗
【师生分析:我们可以先假设这种形式表示不唯一,即还可以表示成,那么.可以通过向量共线定理证明与与的关系】
【学生思考、交流后,教师指定学生代表回答问题】
生:展示证明过程如下:
假设还可以表示成,那么,
即,所以,且,
所以且,所以唯一.
师:回答正确.由此可得平面向量基本定理如下.
【发现创新能力】
以向量分解为情境,让学生自己动手画图,并结合共线向量定理和向量加法运算,通过画图来研究平面向量基本定理的特征,提升学生直观想象、逻辑推理的核心素养与发现创新能力
【概括理解能力】
通过对问题的探究,让学生逐步思考,引出平面向量基本定理的内容,加深对平面向量基本定理的理解程度,提高概括理解能力
【活动学习】
通过设置几个逐步递进的问题串,使研究的问题越来越明确,让学生经历发现平面向量基本定理、证明定理的全过程,并使学生从中感悟联想、类比、概括等重要的数学学习方式,体会数学抽象、逻辑推理对数学知识产生发展的重要作用
【要点知识】
平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个不共线向,那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数,使.
若不共线,我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
师:作为基底的这两个向量是什么位置关系
生:作为基底的两个向量不共线.
师:表示平面上任一向量的基底有多少个
生:表示平面上任一向量的基底有无数个.
师:当基底确定后,向量的表示是否唯一
生:基底确定,唯一,可以为0,向量的表示是唯一的.
师:下面我们做几个小练习.
【深度学习】
学生利用平面向量共线定理及向量线性运算的法则独立研究问题,引发学生进行猜想,进而得出更一般的结论,提升学生分析问题与解决问题的能力,达成数学抽象、逻辑推理的核心素养,培养学生严谨的数学精神
【巩固练面向量基本定理的应用
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“”):
(1)平面向量的一个基底中,一定都是非零向量.( )
(2)在平面向量基本定理中,若,则.( )
(3)在平面向量基本定理中,若,则;若,则.( )
(4)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.( )
2.做一做:
(1)设是同一平面内两个不共线的向量,以下各组向量中不能作为基底的是( )
A.
B.
C.
D.
(2)在中,为边上靠近点的三等分点,若,则_______.(用表示)
生:1.(1)√;(2)√;(3)√;(4).
2.(1)B;(2)
师:同学们对平面向量基本定理已经初步理解了,下面我们来继续探究三点共线的向量表示.
【概括理解能力】
设置练习题,巩固平面向量基本定理,并能够灵活运用,进一步概括得出三点共线的条件,化抽象为具本,提高学生的抽象能力和逻辑思维能力
【综合问题解决能力】
通过利用向量证明几何问题,引导学生借助向量表示相关的几何元素,从而转化成向量运算解决问题,初步让学生体会用向量方法解决几何问题的基本思路,提升综合问题解决能力,达成逻辑推理和数学抽象的核心素养
探究2 三点共线的向量表示
师:前面我们用位移的“合成”引入了向量加法的三角形法则,那么物理学中,对于矢量的合成,还有其他方法吗 我们来看一个例题.
【典型例题】
三点共线的向量表示
例1 如图,不共线, 且,用表示.
【学生尝试独立完成教师进行个别指导,学生完成后进行反馈交流,教师给出规范解答】
【自主学习】
学生独立解决例1,教师进行个别指导,因材施教,既锻炼了学生的独立自主的学习能力,又提高了学生的知识运用能力
【典型解析】
三点共线的向量表示
解:因为,
所以
【先学后教】
通过学生独立解决问题,教师找出从中出现的问题,根据学情解决课堂问题,体现了先学后教
师:观察你有什么发现
生:由以上关系式得:,可得:.
师:由此可得结论:若三点共线,为直线外一点,则,且.反之亦成立.
【要点知识】
三点共线的向量表示
如果三点共线.点找平面内任意一点,若,则
师:根据平面向量基本定理的学习,我们先完成下面的例题.
【概括理解能力】
通过例1的学习,师生共同归纳出三点共线的向量表示,提升了学生的概括理解能力
【典型例题】
利用向量的方法证明两条线段垂直
例2 如图,是的中线,,用向量方法证明是直角三形.
师:从图形上,我们可以猜想出来直角为,如何利用向量证明该角为直角呢
生:利用
师:题中给出了,我们如何将数量积转化为边长的数量关系上来呢
生:可以将作为一组基底,利用向量的运算将表示
师:很好,请同学们自己来完成这道题.
【学生独立写出证明过程,师生共同完善,规范书写】
生证明:设,则,于是.
.
因为,所以.
因为,所以.
因此,
于是是直角三角形.
师:向量的数量积是否为零,是判断相应的两条线段(或直线)是否垂直的重要方法之一.下面我们再看一道例题.
【深度学 重推理】
通过例2,师生互动逐步推理解决利用向量的方法证明两条线段垂直问题,同时学生深度学习掌握直角三角形的向量判断方法
【典型例题】
利用平面向量共线定理证明三点共线问题
例3 设是平面内的一个基底,如果,求证:
三点共线.
生证明:,
即与共线,又与有公共点三点共线.
师:根据上面例题的学习,我们总结三点共线问题的解法.
【学生总结,教师点拨,多媒体展示】
【意义学习】
利用例3,巩固基础知识的运用能力,学生概括总结出三点共线问题的解法,发散学生思维,培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神
【方法策略】
三点共线问题的解法
1.利用平面向量基本定理、结合向量的线性运算表示有公共点的两向量之间的共线关系.
2.找直线外一点(任意一点也可),若存在唯一实数对,使,则三点共线.
注意:向量共线与平面向量基本定理放在一起思考解决是否共线问题.
师:我们根据所学总结本节课的主要内容
【课堂小结】
平面向量基本定理
知识点: 1.平面向量基本定理
2.基底的概念
3.定理的应用
思想方法:数形结合思想、转化思想.
【设计意图】
教师引导学生自主总结当堂课重点内容,培养学生对学习内容的整体认识和把握.通过物理问题的讲解,学生易于接受平面向量基本定理,提高分析问题、解决问题的能力,体现了数学抽象、逻辑推理的核心素养
【课后作业】教材P27练习1~3题
教学评价
学完本节课,我们应该理解平面向量基本定理,掌握平面向量的正交分解及坐标表示,会用向量坐标表示平面向量的线性运算、数量积与向量的夹角,并会用坐标表示向量共线、垂直的充要条件.平面向量基本定理是向量进行坐标表示,进而将向量的运算（向量的加减法、向量的数乘、向量的数量积）转化为坐标的数量运算的重要基础.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力（概括理解、推测解释、简单问题解决、分析计算、猜想探究）解决问题,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理、教学建模的素养目标要求
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知向量,若,则( )
A. B.0 C.1 D.2
解析:因为,且,所以,解得.
答案:
2.设,且三点共线,则__________.
解析:根据三点共线,所以,而,
即有,解得.
答案:6
【概括理解能力】
通过练习巩固本节所学知识,提高向量运算的应用能力,感悟其中蕴含的数学思想,增强学生的应用意识
3.已知正方形的边长为1,点是边上的动点,则的值为______.的最大值为________.
解析:(1)以点为原点,所在直线分别为轴、轴建立如图所示的直角坐标系,则.设,那么,∴
(2)∵正方形的边长为1,∴的最大值为1,故的最大值为.
答案:1 1
【分析计算能力】
【设计意图】
运算的几何问题通过建立坐标系转化为代数方法解题,体现数形结合的思想方法,巩固学习效果,同时回顾了学生已有的相关知识和方法提升分析计算能力,链接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律
4.已知向量,且与的夹角为.
(1)求;
(2)若与垂直,求实数的值.
思路:数量积的坐标运算、向量垂直的坐标表示.
解析:解:(1)因为,且与的夹角为,
所以.
因为,所以,
解得或(舍).
所以,所以.
(2)因为与垂直,所以,即,
解得.
【简单问题解决能力】
利用向量数量积运算的坐标表示解决向量夹角、向量的模及向量垂直问题,提升了学生简单问题解决能力和分析计算能力
【以学定教】
向量的运算由图形过渡到坐标运算,将代数与几何联系起来,向量的威力得到更大的发挥,本节内容要注重数形结合思想,提升学生直观想象的核心素养
教学反思
中学生对于向量的加法、数乘等运算停留在几何直观的理解上,缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受,容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换.本节的教学主要采用“诱思探究教学法”,激发学生的求知欲,积极鼓励学生的参与,给学生独立思考的空间,最终在教师的指导下去探索发现问题,解决问题.在教学中,适时地对学生学习过程给予评价,适当的评价可以培养学生的自信心、合作交流的意识,更进一步地激发学生的学习兴趣,让他们体验成功的喜悦.
【以学论教】
引导学生对向量的加减法、数乘等运算的应用能力,并从“基底”角度去理解平面向量基本定理的深刻内涵,认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作用.教学时要按学生的认知基础设计习题,选择合适的教学设备进行演示,提高平面向量运算的应用意识
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