人教A版（2019）高中数学必修第二册 《6.3平面向量基本定理及坐标表示课时4》教学设计

《平面向量基本定理及坐标表示》教学设计
课时4 平面向量数乘运算的坐标表示
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.平面向量基本定理 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象直观想象 逻辑推理 【考查内容】 平面向量的基本定理是将未知向量用已知向量表示出来,是解决平面向量问题的理论依据,坐标表示是方便向量计算的一种有效工具,高考命题常通过数形结合将问题化归为用坐标法处理的问题,平面向量与平面几何结合起来考查是高考的常见形式 【考查题型】 选择题、填空题为主,解答题常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等内容相结合
2.平面向量的正交分解及坐标表示 数学抽象直观想象 数学运算逻辑推理
3.平面向量加、减运算的坐标表示 数学抽象直观想象 数学运算逻辑推理
4.平面向量数乘运算的坐标表示 数学抽象直观想象 数学运算逻辑推理
5.平面向量数量积的坐标表示 数学抽象直观想象 数学运算逻辑推理
一、本节内容分析
平面向量基本定理是衔接本章向量几何运算与代数运算内容之间的桥梁,它揭示了平面向量的基本关系和基本结构,是学习向量坐标表示及空间向量基本定理的基础.因此,本节内容在向量知识体系中具有核心地位和承上启下的作用.
本节内容首先通过力的分解引出平面向量基本定理,给出平面向量基本定理的证明,运用平面向量基本定理解决简单问题;然后通过平面向量的正交分解,借助平面直角坐标系,给出向量的坐标表示;最后,介绍向量的加减运算、数乘运算、数量积的坐标表示,并用坐标表示两个向量共线、向量垂直的条件及两个向量的夹角.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.平面向量基本定理 2.平面向量的正交分解及坐标表示 3.平面向量加、减运算的坐标表示 4.平面向量数乘运算的坐标表示 5.平面向量数量积的坐标表示 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 核心素养
二、学情整体分析
虽然已经学面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算,但学生对向量之间关系的认识还只是停留在“一维”层面,而平面向量基本定理揭示的是“二维”层面的平面向量之间的关系,这对学生有一定难度,所以要实现这种认识层级的跃迁,教学中应多举实例,带领学生去“发现”定理,并学会向量的坐标表示,而且平面向量基本定理中的“不共线”“任意”“有且只有”等数学专用语对学生会构成理解障碍,在教学中应通过具体形象的教学手段进行直观阐释、辨析,帮助学生理解定理.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.平面向量基本定理
2.平面向量的正交分解及坐标表示
3.平面向量加、减运算的坐标表示
4.平面向量数乘运算的坐标表示
5.平面向量数量积的坐标表示
【教学目标设计】
1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4.能用坐标表示向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.
【教学策略设计】
首先,通过教师提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.
其次,借助多媒体进行教学.整节课的教学主线以学生练习为主,教师给予引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学、领悟思想方法的最好载体.学生经历的这种实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.
【教学方法建议】
情境教学法、直观教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.平面向量基本定理及其意义.
2.平面向量的坐标表示.
3.平面向量运算的坐标表示.
难点 平面向量基本定理唯一性的证明.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:平面向量的加法、减法如何用坐标表示
生:若,则.
师:已知两点的坐标,如何表示的坐标
生:已知向量,且点,则.
师:这节课我们继续探究平面向量数乘运算的坐标表示.
教学精讲
探究1 向量数乘的坐标表示
【情景设置】
探究向量数乘运算的坐标表示
已知,怎样得出的坐标
【学生思考,教师可适当提示,讨论后给出回答】
生:,即.
师:具体如何描述
【设情景 巧激趣】
以问题为情境,引发学生思考,产生学习兴趣,并结合向量的坐标表示及向量数乘的表示,进而得出向量数乘的坐标表示,体现了数学运算的核心素养
【要点知识】
向量数乘运算的坐标表示
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
师:我们根据上面所学解决下面例题.
【典型例题】
向量数乘的坐标表示
例1 已知,求的坐标.
【学生自主运算后,教师给出解题过程】
生解:
师:下面我们进行课堂练习.
【巩固练习】
向量数乘运算的坐标表示
已知向量,且,则的值分别为( )
A.
B.
C.
D.
【自主学习】
通过简单例题,巩固向量的坐标表示及向量加法、数乘运算的坐标表示进行运算,提升学生的自主学习能力
【学生自主做题,教师进行个别指导】
生解:由题意得.
由解得故选D.
探究2 向量共线充要条件的坐标表示
师:已知向量与共线,则两个向量共线的充要条件是什么
生:存在唯一实数,使
师:如何用坐标表示两个向量共线的充要条件
【学生阅读教材、思考、讨论探究后得出结论】
生:设,其中用坐标表示与共线,可写为,
即消去,得.
师:回答正确！向量共线充要条件的坐标表示如下.
【情景学习】
首先利用回顾向量共线条件的情境,引发学生前面的知识,再结合本节课向量数乘运算的坐标表示,得出向量共线条件的坐标表示,体现了循循善诱的教学方式,同时提高学生分析问题的能力
【要点知识】
向量共线充要条件的坐标表示
设向量共线的充要条件是.
师:同学们请思考,消去时,能不能两式相除
生:不能,因为有可能为只能说明至少有一个不为
师:能不能写成的形式
生:不能,因为有可能为
师:通过这些内容,哪位同学来总结一下,向量共线有哪两种表现形式
生:向量共线
师:下面我们学习例题.
【说明论证能力】
教师通过对向量共线条件的坐标表示中学生容易出错的地方层层设问,引导学生思考,加深对向量共线条件坐标表示的理解,掌握向量共线条件的两种表现形式,提升学生说明论证能力
【典型例题】
向量共线充要条件的应用坐标表示
例2 已知,且,求.
【学生独立解题】
生解:因为,
所以,解得.
师:三点共线如何用向量的坐标表示呢 请看下面的例题.
【分析计算能力】
通过例2的解答,进一步熟悉向量共线的充要条件,提升学生数学运算的核心素养
【典型例题】
三点共线的坐标表示
例3 已知,判断三点之间的位置关系.
【教师引导学生从共线向量的坐标表示思考问题,师生互动,学生回答问题】
生解:在平面直角坐标系中作出三点,观察图形,我们猜想三点共线.下面来证明.
因为又所以又直线,直线有公共点,所以三点共线.
探究3 线段上任意一点的坐标公式
师:大家都知道在平面直角坐标系中线段中点的坐标公式,那么线段上任意一点的坐标公式是什么 我们先来研究下面的例题.
【典型例题】
探究线段中点、三等分点的坐标公式
例4 是线段上的一点,点的坐标分别是.
(1)当是线段的中点时,求点的坐标;
(2)当是线段的一个三等分点时,求点的坐标.
师:同学们先来看问题(1),我们可以利用向量的线性运算,表示出三角形中线向量的坐标表示,进而求出点的坐标
【教师引导学生独立思考,并指定学生到黑板完成运算,教师予以点评】
生解:(1)如图,由向量的线性运算可知
所以,点的坐标是
师:我们由此得到线段中点的坐标公式如下.
【深度学习】
通过例4采用数形结合去求点的坐标分析过程,让学生明确研究向量有关问题时,要结合图形进行分析、判断、求解,是研究向量的重要方法
【简单问题解决能力】
学生能够利用向量的线性运算,表示出中线向量,进而得出中点坐标公式,使简单问题解决能力、分析计算能力得到提升,同时培养了逻辑推理、数学抽象的核心素养
【要点知识】
线段中点坐标公式
若点的坐标分别为,线段的中点的坐标为,则
师:再来看问题(2),一条线段的三等分点有几个呢
生:线段的三等分点有两个.
师:这对我们解决问题(2)有什么启示
生:说明需要分两种情况来考虑.
师:的确,三等分点有两个,需要我们分两种情况来考虑.
【教师引导后,学生分组讨论并展示解答过程】
生解:(2)如图,当点是线段的一个三等分点时,有两种情况,即或.
如果,如图①,那么
,即点P的坐标是
同理,如果,如图②,那么点的坐标是
师:我们知道了三等分点的坐标表示,那么线段上任意一点该怎样表示
【猜想探究能力】
在求得线段中点坐标后,继续深入研究,通过例题得出三等分点的坐标,提升了学生猜想探究能力
【发现创新能力】
通过线段三等分点的坐标表示,猜想直线上任意点的坐标与的坐标是否有关系,再利用向量共线的坐标表示进行探究,得出一般结论,提升了学生的发现创新能力,达成逻辑推理的核心素养
【情景设置】
探究线段上任意一点的坐标表示
如图,设是线段上的一点,点的坐标分别是,点是直线上的一点.当时,点的坐标是什么
【学生思考,师生共同总结,教师板书】
师解:当点把线段分成两部分时,可考虑点为线段上的任意一点,所以.设点的坐标为,又因为,
所以,解得即点的坐标是.
【设计意图】
通过练习,巩固向量数乘运算的坐标表示、向量共线条件的坐标表示,能够应用其解决相应问题,教师引导学生回顾本节重点内容,帮助学生形成知识体系,整体学习,培养学生对知识整体的认识和把握,达成数学运算、逻辑推理等核心素养
师:现在我们来一起回顾本节课的重点内容.
【课堂小结】
平面向量数乘运算的坐标表示
1.向量数乘的坐标表示
2.向量共线充要条件的坐标表示
3.线段上任意一点的坐标表示
【课后作业】教材P33练习1~5题
教学评价
学完本节课,我们应该理解平面向量基本定理,掌握平面向量的正交分解及坐标表示,会用向量坐标表示平面向量的线性运算、数量积与向量的夹角,并会用坐标表示向量共线、垂直的充要条件.平面向量基本定理是向量进行坐标表示,进而将向量的运算（向量的加减法、向量的数乘、向量的数量积）转化为坐标的数量运算的重要基础.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力（概括理解、推测解释、简单问题解决、分析计算、猜想探究）解决问题,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理、教学建模的素养目标要求
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知向量,若,则( )
A. B.0 C.1 D.2
解析:因为,且
,所以,解得.
答案:
2.设,且三点共线,则__________.
解析:根据三点共线,所以,而,
即有,解得.
答案:6
【概括理解能力】
通过练习巩固本节所学知识,提高向量运算的应用能力,感悟其中蕴含的数学思想,增强学生的应用意识
3.已知正方形的边长为1,点是边上的动点,则的值为______.的最大值为________.
解析:(1)以点为原点,所在直线分别为轴、轴建立如图所示的直角坐标系,则.设,那么,∴
(2)∵正方形的边长为1,∴的最大值为1,故的最大值为.
答案:1 1
【分析计算能力】
【设计意图】
运算的几何问题通过建立坐标系转化为代数方法解题,体现数形结合的思想方法,巩固学习效果,同时回顾了学生已有的相关知识和方法提升分析计算能力,链接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律
4.已知向量,且与的夹角为.
(1)求;
(2)若与垂直,求实数的值.
思路:数量积的坐标运算、向量垂直的坐标表示.
解析:解:(1)因为,且与的夹角为,
所以.
因为,所以,
解得或(舍).
所以,所以.
(2)因为与垂直,所以,即,
解得.
【简单问题解决能力】
利用向量数量积运算的坐标表示解决向量夹角、向量的模及向量垂直问题,提升了学生简单问题解决能力和分析计算能力
【以学定教】
向量的运算由图形过渡到坐标运算,将代数与几何联系起来,向量的威力得到更大的发挥,本节内容要注重数形结合思想,提升学生直观想象的核心素养
教学反思
中学生对于向量的加法、数乘等运算停留在几何直观的理解上,缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受,容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换.本节的教学主要采用,诱思探究教学法,,激发学生的求知欲,积极鼓励学生的参与,给学生独立思考的空间,最终在教师的指导下去探索发现问题,解决问题.在教学中,适时地对学生学习过程给予评价,适当的评价可以培养学生的自信心、合作交流的意识,更进一步地激发学生的学习兴趣,让他们体验成功的喜悦.
【以学论教】
引导学生对向量的加减法、数乘等运算的应用能力,并从,基底,角度去理解平面向量基本定理的深刻内涵,认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作用.教学时要按学生的认知基础设计习题,选择合适的教学设备进行演示,提高平面向量运算的应用意识
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