人教A版（2019）高中数学必修第二册 《6.3平面向量基本定理及坐标表示课时5》教学设计

《平面向量基本定理及坐标表示》教学设计
课时5 平面向量数量积的坐标表示
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.平面向量基本定理 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象直观想象 逻辑推理 【考查内容】 平面向量的基本定理是将未知向量用已知向量表示出来,是解决平面向量问题的理论依据,坐标表示是方便向量计算的一种有效工具,高考命题常通过数形结合将问题化归为用坐标法处理的问题,平面向量与平面几何结合起来考查是高考的常见形式 【考查题型】 选择题、填空题为主,解答题常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等内容相结合
2.平面向量的正交分解及坐标表示 数学抽象直观想象 数学运算逻辑推理
3.平面向量加、减运算的坐标表示 数学抽象直观想象 数学运算逻辑推理
4.平面向量数乘运算的坐标表示 数学抽象直观想象 数学运算逻辑推理
5.平面向量数量积的坐标表示 数学抽象直观想象 数学运算逻辑推理
一、本节内容分析
平面向量基本定理是衔接本章向量几何运算与代数运算内容之间的桥梁,它揭示了平面向量的基本关系和基本结构,是学习向量坐标表示及空间向量基本定理的基础.因此,本节内容在向量知识体系中具有核心地位和承上启下的作用.
本节内容首先通过力的分解引出平面向量基本定理,给出平面向量基本定理的证明,运用平面向量基本定理解决简单问题;然后通过平面向量的正交分解,借助平面直角坐标系,给出向量的坐标表示;最后,介绍向量的加减运算、数乘运算、数量积的坐标表示,并用坐标表示两个向量共线、向量垂直的条件及两个向量的夹角.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.平面向量基本定理 2.平面向量的正交分解及坐标表示 3.平面向量加、减运算的坐标表示 4.平面向量数乘运算的坐标表示 5.平面向量数量积的坐标表示 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 核心素养
二、学情整体分析
虽然已经学面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算,但学生对向量之间关系的认识还只是停留在“一维”层面,而平面向量基本定理揭示的是“二维”层面的平面向量之间的关系,这对学生有一定难度,所以要实现这种认识层级的跃迁,教学中应多举实例,带领学生去“发现”定理,并学会向量的坐标表示,而且平面向量基本定理中的“不共线”“任意”“有且只有”等数学专用语对学生会构成理解障碍,在教学中应通过具体形象的教学手段进行直观阐释、辨析,帮助学生理解定理.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.平面向量基本定理
2.平面向量的正交分解及坐标表示
3.平面向量加、减运算的坐标表示
4.平面向量数乘运算的坐标表示
5.平面向量数量积的坐标表示
【教学目标设计】
1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4.能用坐标表示向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.
【教学策略设计】
首先,通过教师提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.
其次,借助多媒体进行教学.整节课的教学主线以学生练习为主,教师给予引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学、领悟思想方法的最好载体.学生经历的这种实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.
【教学方法建议】
情境教学法、直观教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.平面向量基本定理及其意义.
2.平面向量的坐标表示.
3.平面向量运算的坐标表示.
难点 平面向量基本定理唯一性的证明.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:平面向量数量积(内积)的定义是什么
生:已知两个非零向量与,它们的夹角是,则数量叫做与的数量积,记作,即.并规定与任何向量的数量积为0.
师:向量共线的充要条件的坐标表示是什么
生:设,向量共线的充要条件是.
师:向量数乘运算的坐标表示是什么
生:已知.
师:向量的数量积如何用坐标表示呢 今天我们就来探究这个问题.
【以学定教】
以探究向量数量积的坐标表示问题为背景,引发学生思考、讨论,最终师生共同总结向量数量积的坐标表示,体现了学生的主体地位,提高了学生的合作探究能力
教学精讲
探究1 向量数量积的坐标表示
师:设是轴正方向上的单位向量,是轴正方向上的单位向量,请回答:
(1)______;(2)______;(3)_____________.
生:(1);(2);(3);(4).
师:已知两个非零向量,怎样用向量的坐标表示
【学生自主讨论并展示成果,教师进行点评】
师:设是轴上的单位向量,是轴上的单位向量,那么,
生:.
又,所以.
师:这就是说,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即.
【要点知识】
向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量,数量积.
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
【说明论证能力】
学生在已知向量数量积的坐标表示前提下,再来研究向量模的坐标表示,体现了教学循序渐进的特点,同时利用已知的知识推导出新的结论,培养了学生的说明论证能力,体现了逻辑推理的核心素养
师:设,则怎样用坐标表示和
生:.
师:设,怎样用向量的坐标表示
生:.
师:同理,如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为,那么用坐标怎样表示
生:(平面内两点间的距离公式).
师:向量模如何用坐标表示
【要点知识】
向量模的坐标表示
设,则.
探究2 向量垂直充要条件的坐标表示
师:先回顾下向量垂直的充要条件是什么
生:.
师:那么如何用坐标来表示呢
【教师引导,学生自主探究】
生:.
师:同学们回答正确.
【要点知识】
向量垂直充要条件的坐标表示
已知两个非零向量,则.
师:下面我们应用这个条件来看一个例题.
【自主学习】
通过数量积公式转化为数量积坐标运算的过程让学生进一步理解数量积的代数运算和几何运算的区别与联系,加深对向量数量积的坐标表示的理解
【猜想探究能力】
引导学生自主探索、合作交流总结出向量垂直充要条件的坐标表示,通过探究过程培养学生互相配合,独立寻求问题的解决办法能力和猜想探究能力
【典型例题】
向量垂直的应用
例1 已知点,则是什么形状 并证明你的猜想.
【学生自主计算,教师指定学生到黑板前进行演算,教师予以点评】
生解:如图,在平面直角坐标系中画出点我们发现△ABC是直角三角形.证明如下.
因为,
,
所以.于是.
因此,△ABC是直角三角形.
师:本题同学们利用向量的数量积为零,得出了三角形为直角三角形,那么如何来判断三角形为锐角三角形、钝角三角形呢
生:利用向量的夹角公式,判断夹角余弦值的符号.
【以学定教】
根据向量数量积的坐标表示公式得出两个向量的特殊位置关系的坐标表示,教师要提醒学生注意与的坐标表达式不同,提高学生对特殊位置关系的坐标表示的区分
【推测解释能力】
通过例1,引导学生灵活应用所学知识解决问题,除了应用向量数量积进行运算外,培养了学生举一反三的意识,既提升了推测解释能力,又体现了逻辑推理的核心素养
探究3 向量夹角的坐标表示
师:下面我们就一起先来研究向量夹角的坐标表示.
【情境设置】
探究向量夹角的坐标表示
设是两个非零向量,其夹角为,若,那么如何用坐标表示
师:向量夹角与数量积有什么关系
生:因为,所以.
师:那么如何利用坐标来表示向量的夹角呢
【教师引导学生独立思考,同时学生展示探究成果,全班总结】
生:因为,
所以.
【要点知识】
向量夹角的坐标表示
设与都是非零向量,是与的夹角,根据向量数量积的定义和坐标表示可得
师:知道了向量夹角坐标公式,如何来判断夹角为锐角、直角和钝角呢
【学生思考、交流、探究后总结结论】
生:当是锐角时,则;当是钝角时,则;当是直角时,则.
师:下面我们根据向量夹角的坐标公式进行巩固练习.
【深度学习】
引导学生得出向量夹角的坐标表示,进一步探究向量夹角为锐角、直角、钝角时与坐标的关系,加深了对知识的理解,同时培养了学生探究的精神
【典型例题】
向量夹角坐标表示的应用
例2 设,求及的夹角(精确到).
师:求两向量与的夹角,我们需要哪些条件
生:我们需先求出,再求,再结合夹角的范围,求出夹角.
【教师引导后学生独立思考,求解,教师指定学生到黑板前进行运算,并点评】
生解:.
因为,
所以用计算器计算可得
.
利用计算器中的“,键,得.
师:我们再练习一道有关向量数量积坐标运算的应用习题.
【分析计算能力】
根据向量夹角的坐标表示解决例2,熟悉公式的同时提醒学生关注计算技巧和正确率,提升分析计算能力
【典型例题】
用向量方法证明两角差的余弦公式
例3 用向量方法证明两角差的余弦公式.
师:同学们对于这个公式并不陌生,在上学期已经学习并且记忆过这个公式,同学们还记得怎么证明这个公式吗
生:借助单位圆利用两点间距离公式进行证明.
【学生回顾原来证法,并探究向量方法,教师巡视,展示向量证法】
师:现在我们有了向量这个工具,可以利用向量来证明.
【综合问题解决能力】
对比之前的两角差的余弦公式讲解,利用向量法推导两角差的余弦公式,开拓学生思维,培养学习的逻辑推理和综合问题解决能力,提高学生对向量运算的重要性的认知,达成数学运算的核心素养
【典例解析】
用向量方法证明两角差的余弦公式
证明:如图,在平面直角坐标系内作单位圆,以轴的非负半轴为始边作角,它们的终边与单位圆的交点分别为,则,.
由向量数量积的坐标表示,有.
设与的夹角为,则.
所以.
另一方面,由图(1)可知,;由图(2)可知,,
于是.所以.
于是.
师:事实上利用向量来证明两角差的余弦公式,比之前的证明方法要简洁很多！
师:本节课的内容我们就探究到这里,同学们回顾下都有哪些收获
【设计意图】
本节课主要学习了向量的数量积坐标运算,重点掌握平面向量数量积的坐标表示和向量垂直的坐标表示充要条件.通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力,培养学生的创新意识和实践能力,激发学生学习数学的好奇心,启发学生能够发现问题和提出问题,学会分析问题和创造性地解决问题
【课堂小结】
平面向量数量积的坐标表示
1.向量数量积的坐标表示
2.向量垂直充要条件的坐标表示
3.向量夹角的坐标表示
【课后作业】教材P36练习1~3题
教学评价
学完本节课,我们应该理解平面向量基本定理,掌握平面向量的正交分解及坐标表示,会用向量坐标表示平面向量的线性运算、数量积与向量的夹角,并会用坐标表示向量共线、垂直的充要条件.平面向量基本定理是向量进行坐标表示,进而将向量的运算（向量的加减法、向量的数乘、向量的数量积）转化为坐标的数量运算的重要基础.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力（概括理解、推测解释、简单问题解决、分析计算、猜想探究）解决问题,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理、教学建模的素养目标要求
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知向量,若,则( )
A. B.0 C.1 D.2
解析:因为,且
,所以,解得.
答案:
2.设,且三点共线,则__________.
解析:根据三点共线,所以,而,
即有,解得.
答案:6
【概括理解能力】
通过练习巩固本节所学知识,提高向量运算的应用能力,感悟其中蕴含的数学思想,增强学生的应用意识
3.已知正方形的边长为1,点是边上的动点,则的值为______.的最大值为________.
解析:(1)以点为原点,所在直线分别为轴、轴建立如图所示的直角坐标系,则.设,那么,∴
(2)∵正方形的边长为1,∴的最大值为1,故的最大值为.
答案:1 1
【分析计算能力】
【设计意图】
运算的几何问题通过建立坐标系转化为代数方法解题,体现数形结合的思想方法,巩固学习效果,同时回顾了学生已有的相关知识和方法提升分析计算能力,链接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律
4.已知向量,且与的夹角为.
(1)求;
(2)若与垂直,求实数的值.
思路:数量积的坐标运算、向量垂直的坐标表示.
解析:解:(1)因为,且与的夹角为,
所以.
因为,所以,
解得或(舍).
所以,所以.
(2)因为与垂直,所以,即,
解得.
【简单问题解决能力】
利用向量数量积运算的坐标表示解决向量夹角、向量的模及向量垂直问题,提升了学生简单问题解决能力和分析计算能力
【以学定教】
向量的运算由图形过渡到坐标运算,将代数与几何联系起来,向量的威力得到更大的发挥,本节内容要注重数形结合思想,提升学生直观想象的核心素养
教学反思
中学生对于向量的加法、数乘等运算停留在几何直观的理解上,缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受,容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换.本节的教学主要采用“诱思探究教学法”,激发学生的求知欲,积极鼓励学生的参与,给学生独立思考的空间,最终在教师的指导下去探索发现问题,解决问题.在教学中,适时地对学生学习过程给予评价,适当的评价可以培养学生的自信心、合作交流的意识,更进一步地激发学生的学习兴趣,让他们体验成功的喜悦.
【以学论教】
引导学生对向量的加减法、数乘等运算的应用能力,并从“基底”角度去理解平面向量基本定理的深刻内涵,认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作用.教学时要按学生的认知基础设计习题,选择合适的教学设备进行演示,提高平面向量运算的应用意识
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