人教A版（2019）高中数学必修第二册 《6.3平面向量加、减运算的坐标表示》教学设计二

《平面向量加、减运算的坐标表示》教学设计二
教学设计
复习导入
1.复面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数
.
（1）若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底；
（2）基底不唯一，关键是不共线；
（3）由定理可将任一向量a在给出基底{e1，e2}的条件下进行分解；
（4）基底{e1，e2}给定时，向量a的分解形式唯一：是由a，e1，e2唯一确定的数量.
2.导入
倾斜角为30度的斜面上，质量为100kg的物体匀速下滑，欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解？
二、自主探究
问题1：在平面内，规定{e1，e2}为基底，那么任意一个向量a在此基底下的分解形式是唯一的吗？
学生进行回顾、思考，小组讨论，进行回答教师结合情境导人，给出正交分解的概念.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
问题2：如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底对于平面内的任意一个向量a，a用{i，j}表示成什么？
学生分组进行讨论，给出答案，小组间进行评价，最后小组派代表发言教师给出平面向量的坐标表示的概念.
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有对实数x，y，使得a=xi+yj我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y），此式叫做向量a的坐标表示.
问题3：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为作为基底，任作一向量根据平面向量基本定理可知, 那么（x，y）与A点的坐标是否相同.
每组找一个代表进行回答，最后得出结论.
学生回答：相同.
问题4：如果向量也用（x，y）表示，那么向量与实数对（x，y）之间是否一一对应？
学生思考讨论回答：一一对应.
问题5：a，b的坐标分别是什么？
问题6：试求a+b和a-b.
问题7：a+b和a-b的坐标分别是什么？
问题8：由问题5，6，7，你能不能总结出向量加、减运算的坐标表示？
将四个问题放到一起，学生思考，讨论，计算，根据5，6，7三个问题进而回答第8个问题.
师：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.
设计意图：提高学生自主学习、自主分析问题的能力有利于学生的理解与记忆.
问题9：如图，已知A（x1，y1），B（x2，y2），如何求的坐标？
学生利用图形进行计算.
生：如图，作向量.
问题10：由问题9求出的的坐标与A（x1，y1），B（x2，y2）有什么关系？你能不能直接给出向量坐标的求法？
学生思考、讨论，给出答案：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
教师引导学生共同归纳总结以下内容.
1.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解
2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有对实数x，y，使得a=xi+yj我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y），此式叫做向量a的坐标表示.
3.向量i，j，0的坐标表示
4.向量加、减运算的坐标表示
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.
5.向量坐标的求法
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
例题剖析
例1 如图，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标.
活动：本例要求分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，其关键是把a，b，c，d表示为基底{i，j}的线性组合.一种方法是把a正交分解，看a在x轴、y轴上的分向量的大小，把向量a用i，表示出来，进而得到向量a的坐标另种方法是把向量a的起点移到坐标原点，则向量a终点的坐标就是向量a的坐标同样的方法，可以得到向量b,c，d的坐标.另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a与b关于y轴对称，a与c关于坐标原点中心对称，a与d关于x轴对称等，由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.
例2 已知的坐标.
例3 如图，已知□ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（-2，1），（-1，3），（3，4），求顶点D的坐标.
解法1：如图，设顶点D的坐标为（x，y）.
所以顶点D的坐标为（2，2）.
解法2：如图，由向量加法的平行四边形法则可知
而
所以顶点D的坐标为（2，2）.
教师让学生小组讨论，尽量给出多种解法，并全班一起讨论各个解法的优缺点.
课堂小结
通过本节课的学习，你有什么新的收获？还有什么疑惑的地方吗？和同伴交流.
六、作业布置
教材第30页练习第1，2，3题.
板书设计
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 一、复习导入 二、自主探究 1.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为作为基底对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得我们把有序数对叫做向量a的坐标，记作此式叫做向量a的坐标表示 3向量的坐标表示. 4.向量加、减运算的坐标表示 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. 5.向量坐标的求法. 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 三、例题剖析 例1 例2 例3 四、课堂小结 五、课后作业
教学研讨
本案例的教学设计主要通过10个问题来贯穿始终，通过问题的合作探究，培养学生的合作交流、自主探究能力，使学生在解决问题的同时顺利地掌握了本节的核心知识.问题的处理不是一个问题一个问题来解决，有些问题具有一定的关联性，这些问题放在一起去解决，能更好地培养学生的逻辑分析能力.例题的选择主要是教材上的例题，如果后面紧跟着再设计一些练习进行巩固，强化对本节相关知识的理解与记忆，则效果会更好一些.
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