人教A版（2019）高中数学必修第二册 《6.3平面向量数乘运算的坐标表示》知识解读

《平面向量数乘运算的坐标表示》知识解读
1.若，则.
即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
2.用坐标表示两个向量共线的条件
设，其中，则的充要条件是，即.
证明如下：
（1）必要性.
因为，所以存在实数，使得，
即.
也就是.
由平面向量基本定理，得①，
②.
由，得.
（2）充分性.
由知，不全为0.当均不为0时，由，得.令，则.所以.所以.
当中有一个为0时，不妨设，则，否则，这与矛盾.
将代入，得.
因为，所以，所以.
又，所以.
根据（1）和（2）可知.
友情提醒
①当时，，一定有.由此可知无论b是否为0，都有.
②两个向量共线的几种不同的表示方法.
已知，且.
a..这是几何运算，体现了向量a与向量b的长度及方向之间的关系.
b..这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.
c.当时，，即两个向量的相应坐标成比例.这种形式不易出现搭配错误.
③公式无条件的限制，便于应用；公式有条件的限制，但便于记忆，所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式.
④通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一个有序实数对能表示一个向量.这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对.这样，就给出了向量的另一种表示——坐标表示，向量的加法、减法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟知的代数运算.
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