人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.3.1　平面向量基本定理__6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示巩固提升（含答案）

6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
课后篇巩固提升
基础巩固
1.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为(　　)
　　 　　　　　　　　　　　　　　
A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4
2.如图所示,在△ABC中,AD=AB,BE=BC,则=(　　)
A.
B.
C.
D.
3.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足(　　)
A.m>0,n>0 B.m>0,n<0
C.m<0,n>0 D.m<0,n<0
4.已知向量i=(1,0),j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,给出下列四个结论:
①存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y);
②若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2;
③若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的始点是原点O;
④若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y).
其中正确结论的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为　　　　　.
6.
如图,C,D是△AOB中边AB的三等分点,设=e1,=e2,以{e1,e2}为基底来表示=　　　　,=　.
7.设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)证明:{a,b}可以作为一个基底;
(2)以{a,b}为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.
8.
如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)求证:B,E,F三点共线.
能力提升
1.若O是平面内一定点,A,B,C是平面内不共线的三点,若点P满足+λ(λ∈(0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
2.
如图,平面内有三个向量,其中的夹角为120°,的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值等于　　　　　.
3.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求AP∶PM的值.
4.如图,已知△OAB,若正实数x,y满足x+y<1,且有=x+y.证明:点P必在△OAB内部.
6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
课后篇巩固提升答案
基础巩固
1.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为(　　)
　　 　　　　　　　　　　　　　　
A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4
答案D
解析因为向量e1与e2不共线,
所以解得
2.如图所示,在△ABC中,AD=AB,BE=BC,则=(　　)
A.
B.
C.
D.
答案D
解析)=.
3.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足(　　)
A.m>0,n>0 B.m>0,n<0
C.m<0,n>0 D.m<0,n<0
答案B
解析如图所示,利用平行四边形法则,
将分解到上,有,
则=m=n,
很明显方向相同,则m>0;
方向相反,则n<0.
4.已知向量i=(1,0),j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,给出下列四个结论:
①存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y);
②若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2;
③若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的始点是原点O;
④若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y).
其中正确结论的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案A
解析由平面向量基本定理,知①正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故②错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的始点是不是原点无关,故③错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的始点是原点为前提的,故④错误.
5.已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为　　　　　.
答案6
解析由已知得,存在λ∈R,使得a=λb,
即xe1+2e2=3λe1+λye2,
所以故xy=3λ·=6.
6.
如图,C,D是△AOB中边AB的三等分点,设=e1,=e2,以{e1,e2}为基底来表示=　　　　,=　.
答案e1+e2　e1+e2
解析=e1+(e2-e1)=e1+e2,
=(e2-e1)=e1+e2.
7.设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)证明:{a,b}可以作为一个基底;
(2)以{a,b}为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.
(1)证明假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),
则e1-2e2=λ(e1+3e2).
由e1,e2不共线,得
所以λ不存在,故a,b不共线,
即{a,b}可以作为一个基底.
(2)解设c=ma+nb(m,n∈R),
则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)
=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.
所以解得
故c=2a+b.
8.
如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)求证:B,E,F三点共线.
(1)解如图,延长AD到点G,使=2,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则=a+b,(a+b),(a+b),
b,
(a+b)-a=(b-2a),
b-a=(b-2a).
(2)证明由(1)知,,∴共线.
又有公共点B,∴B,E,F三点共线.
能力提升
1.若O是平面内一定点,A,B,C是平面内不共线的三点,若点P满足+λ(λ∈(0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
答案C
解析设线段BC的中点为D,则有),因此由已知得+λ,即=λ,于是=λ,则,因此P点在直线AD上,又AD是△ABC的BC边上的中线,因此点P的轨迹一定经过三角形ABC的重心.
2.
如图,平面内有三个向量,其中的夹角为120°,的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值等于　　　　　.
答案6
解析如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则.
在Rt△OCD中,因为||=2,∠COD=30°,∠OCD=90°,所以||=4,||=2,
故=4=2,
即λ=4,μ=2,
所以λ+μ=6.
3.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求AP∶PM的值.
解设=e1,=e2,则=-3e2-e1,=2e1+e2.∵A,P,M和B,P,N分别共线,∴存在实数λ,μ,使=λ=-λe1-3λe2,
=μ=2μe1+μe2,
∴=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
又=2e1+3e2,
∴解得
∴,即AP∶PM=4∶1.
4.如图,已知△OAB,若正实数x,y满足x+y<1,且有=x+y.证明:点P必在△OAB内部.
证明由题意可设x+y=t,t∈(0,1),则=1.设P'为平面内一点,且,
则)=,所以点P'在直线AB上.又∈(0,1),所以点P'在线段AB上(异于端点).
因为=x+y=t ,t∈(0,1),
即点P在线段OP'上(异于端点),
所以点P必在△OAB内部.